师：同学们，这节课我们继续研究等腰三角形。我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。这节课我们来探究等腰三角形的性质。

　　大家先看，把一张长方形纸按图中虚线对折，剪出阴影部分（一个直角三角形），再展开得到的三角形ABC有什么特点？通过动画演示，我们发现，在这个过程中，剪刀剪过的两条边相等，即三角形ABC中AB = AC，所以三角形ABC是等腰三角形。

　　那请同学们思考，三角形ABC是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

　　生：三角形ABC是轴对称图形，对称轴是折痕所在的直线。

　　师：非常好。因为等腰三角形是轴对称图形，所以我们把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角。

　　生：重合的线段有AB与AC、BD与CD、AD与AD；重合的角有∠B与∠C、∠BAD与∠CAD、∠ADB与∠ADC。

　　师：很棒。由这些重合的角，大家能发现等腰三角形的性质吗？说一说你们的猜想。

　　生：猜想等腰三角形的两个底角相等。

　　师：很好。那怎么证明这个猜想呢？我们先把这个命题改写成已知、求证的形式。已知等腰三角形，求证它的两个底角相等。如图，在三角形ABC中，AB = AC，求证∠B = ∠C。思考一下，如何证明两个角相等呢？

　　生：可以利用全等三角形对应角相等来证明。

　　师：没错。这就需要构造两个全等的三角形，那怎么构造呢？我们回顾三角形的三条重要线段：高、中线、角平分线。方法一，我们可以作底边上的中线AD，这样BD = CD，就构造出了三角形ABD与三角形ACD。在这两个三角形中，AB = AC（已知），BD = CD（所作中线），AD = AD（公共边），根据“边边边”可判定三角形ABD ≌ 三角形ACD，从而得到∠B = ∠C（全等三角形对应角相等）。除了作底边上的中线，还有其他证法吗？

　　生：可以作顶角的平分线AD。

　　师：对。作顶角平分线AD，则∠BAD = ∠CAD，同样构造出了三角形ABD与三角形ACD。在这两个三角形中，AB = AC（已知），∠BAD = ∠CAD（所作角平分线），AD = AD（公共边），利用“边角边”可判定三角形ABD ≌ 三角形ACD，进而得到∠B = ∠C。还有别的方法吗？

　　生：作底边BC上的高AD。

　　师：非常好。作底边BC上的高AD，得到两个直角三角形ABD与直角三角形ACD。在这两个直角三角形中，AB = AC（已知），AD = AD（公共边），利用“斜边、直角边”可判定直角三角形ABD ≌ 直角三角形ACD，同样能得到∠B = ∠C。

　　通过刚刚的证明，我们得出等腰三角形的性质一：等腰三角形的两个底角相等，简单说成“等边对等角”。用数学符号语言表示为：如图，在三角形ABC中，因为AB = AC，所以∠B = ∠C。

　　那同学们想一想，由三角形ABD ≌ 三角形ACD，除了能得到∠B = ∠C，还能得到哪些相等的线段和角呢？

　　生：相等的线段有BD = CD，相等的角有∠ADB = ∠ADC，∠BAD = ∠CAD。

　　师：对。因为∠ADB + ∠ADC = 180°，且∠ADB = ∠ADC，所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD ⊥ BC。又因为∠BAD = ∠CAD，所以AD是顶角∠BAC的角平分线，同时BD = CD，说明AD是底边BC上的中线。由此我们发现等腰三角形的另一条性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线以及底边上的高互相重合，简单说成“三线合一”。

　　这里同学们要注意，等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高、底边上的中线，只要具备其中一条，另外两条也就成立。用数学符号语言表示性质二：如图，在三角形ABC中，

　　第一种情况，因为AB = AC，∠1 = ∠2（即已知等腰三角形顶角的角平分线），所以BD = CD，AD ⊥ BC（即顶角的角平分线是底边上的中线也是底边上的高）；