师：同学们，我们已经研究过等腰三角形和特殊的等腰三角形。先回顾一下相关性质，我们从哪些方面研究的呢？

　　生：性质和判定。

　　师：对，我们从边、角和对称性的角度，研究了两个特殊三角形的性质。就像这个等边三角形，同样做了相应研究。同时，我们还从边和角的角度，研究了它们不同的判定方法。之前两堂课，我们借助等边三角形，研究了有一个角是30度的直角三角形的性质。今天，我们就来应用这些性质。知识点一：等边对等角。在这个三角形中，BG等于BH，这是个等腰三角形，点A在延长线上，若AB等于AC，这也是个等腰三角形，AK等于GK。我们要求∠BAC的值，根据等边对等角来分析，有哪些相等的角呢？

　　生：可以推出∠G = ∠H = ∠A，∠ABC = ∠ACB。

　　师：很好，∠ABC又是△BGH的外角，所以它等于两倍的∠G。这些角之间存在数量关系，为了更清晰地表达，我们可以设未知数，设其中最小的量∠G = ∠H = ∠A = x，那么∠ABC = ∠ACB = 2x。设完以后，怎么找出相等关系列出方程呢？

　　生：在△ABC中，由三角形内角和是180度列出方程。

　　师：没错，解得x = 36，也就是∠BAC = 36°。同学们，在这道计算题中，我们用到了方程思想，它能帮助我们便捷地表示数量关系。接下来看第二题，△ABE和△ACF分别是以AB、AC为边的等边三角形，CE、BF相交于点O，求证CE = BF。我们可以探寻一下，CE和BF所在的两个三角形全等吗？

　　生：由△ABE和△ACF是等边三角形，可得∠EAB = ∠FAC = 60°，所以∠EAC = ∠BAF。再加上AE = AB，AC = AF，能证到△AEC ≌ △ABF，所以EC = BF。

　　师：非常好，我们通过边角边找全等，借助了等边三角形边相等，每个角都是60度的性质。找全等时，抓住两个等边三角形公共顶点A，通过A找到相等边以及公共区域，推出这两个可通过旋转变换重合的等边三角形，这是遇到两个等边三角形时常用的方法。接下来求∠BOE的度数，刚才已得到△AEC ≌ △ABF，所以∠AEO = ∠ABO。因为∠AEO + ∠BEO = 60°，所以∠ABO + ∠BEO = 60°。再加上∠AEB = 60°，那么在△BEO中，用内角和可求出∠BOE的度数是多少呢？

　　生：180° - （∠ABO + ∠BEO + ∠AEB）= 180° - （60° + 60°） = 60°，所以∠BOE = 60°。

　　师：对，如果改变∠BAC的大小，∠BOE的度数会改变吗？

　　生：因为△AEC和△ABF全等关系不变，所以同理可求出∠BOE的度数还是60°。

　　师：继续变题，如果OB = OC，此时△ABC变成什么形状了呢？为方便研究，我们重画图形。△ABE和△ACF是两个等边三角形，OB = OC，同学们猜想一下△ABC是什么形状？

　　生：等腰三角形。

　　师：那怎么找理由呢？由OB = OC可得∠OBC = ∠OCB。前面已研究过，两个等边三角形存在时，仍有△AEC ≌ △ABF，所以EC = BF。再由BC是公共边，能推得△BCE ≌ △CBF。因为△ABE和△ACF是等边三角形，所以AB = AC，所以△ABC是等腰三角形。第3个知识点：轴对称。已知∠ACB = 60°，PC = 12，M、N在边BC上，PM = PN，若MN = 4，则CM的长是多少？A. 2 B. 3 C. 4 D. 5