师：同学们好，今天我们一起研究线段的垂直平分线，主要学习线段垂直平分线的性质定理与判定定理。首先回顾相关知识点。

　　师：第一，什么叫线段的垂直平分线？过线段的中点且垂直于这条线段的直线，就叫做这条线段的垂直平分线。

　　师：第二，线段是轴对称图形吗？是的，线段的对称轴就是这条线段的垂直平分线。

　　师：第三，怎样画出一条线段的垂直平分线？如果是画图题，通过量取线段长度，除以2得到中点，再过中点作这条线段的垂线，就得到线段的垂直平分线。

　　师：接下来，我们动手操作画线段AB的垂直平分线MN，垂足为C 。在MN上任取一点P，连接PA、PB，量一量PA、PB的长度，能发现什么？

　　生：能得到PA等于PB。

　　师：如果再找一点P1，连接P1A和P1B，又会发现什么？

　　生：P1A等于P1B。

　　师：这样，我们在MN上再取另外一些点，是不是会得出MN上所有的点到A和到B的距离都相等？由此，能得到什么样的规律？

　　生：猜想线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。

　　师：这个结论一定正确吗？我们要通过严谨的证明来确定。怎样证明这个命题呢？首先根据命题构造图形，如右图。写已知、求证，已知MN垂直于AB，垂足为点C，且AC = CB，点P在MN上，求证PA = PB。

　　师：我们知道∠PCA = ∠PCB = 90°，这里存在一对全等三角形，是哪两个三角形全等？全等的依据是什么？

　　生：三角形PCA和三角形PCB全等。全等依据是AC = BC，∠PCA = ∠PCB，PC = PC（公共边），依据是SAS（边角边），所以得出PA = PB 。

　　师：这样就证明原命题正确，即线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。以后，不需要通过证全等来推出PA = PB，只要说明点P在线段AB的垂直平分线上，就能得出PA = PB 。用几何语言叙述，因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA = PB，很简洁吧？接下来看几道基础练习。

　　师：第一题，如图线段MN被直线AB垂直平分，图中有哪些相等的线段？

　　生：因为AB垂直平分线段MN，根据线段垂直平分线的性质，直线AB上所有点到线段MN两端点M和点N的距离相等，所以EM = EN，FM = FN，BM = BN，还有OM = ON，共有4对长度相等的关系。

　　师：第二题，如图，P是AB垂直平分线MN上一点，连接PA，PB，则∠A与∠B的关系是？

　　生：∠A肯定等于∠B，如果要证明，可以通过证明两个直角三角形全等得到，依据是SAS，所以选C。

　　师：接下来通过例题巩固新知识。三角形ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N。三角形BMC的周长为23，BM = 7，求BC的长。看到周长要学会把周长拆解成边长的和，这里可以拆成BM + CM + BC 。因为MN垂直平分BC，所以BM = CM = 7 。那么BC的长应该怎么求？

　　生：BC等于周长减BM加CM，即23 - BM - CM，也就是23 - 7 - 7 = 9。

　　师：例2，如图，BC = BA，MN垂直平分BC，若三角形ABC周长为28，CA = 8，求三角形DCA的周长。我们来分析这个图形，三角形ABC是什么三角形？

　　生：三角形ABC是等腰三角形。

　　师：AC长为8，周长为28，所以AB + BC + AC = 28，也就是AB + BC = 20，即2AB = 20，AB = 10 。再看目标三角形DCA，把它拆解成CD + DA + AC，其中CD有替代品，是什么？

　　生：因为MN垂直平分BC，所以DB = DC，CD的替代品是BD 。

　　师：所以三角形ACD的周长为AD + CD + AC，也就是AD + BD + AC，结果是多少？

　　生：结果为AB + AC，即10 + 8 = 18。

　　师：例3，如图所示，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，它们交于点O，判断线段OA与OC是否相等？怎么证明？

　　生：OA等于OC 。连接OB，因为MN垂直平分AB，所以OA = OB；又因为DE垂直平分BC，所以OB = OC 。根据OA = OB，OB = OC，等量代换可得OA = OC 。

　　师：接下来运用这几个题目进行当堂反馈。第一题，如图，三角形ABC中边AB，BC的垂直平分线相交于点P，求证PA = PB = PC。

　　生：根据点P在线段AB的垂直平分线上，可知PA = PB，同理可得PB = PC，所以根据等量代换得出PA = PB = PC。