师：同学们好，前面大家已认识角平分线，今天我们一起探索角平分线的性质。请在纸上画一个角，思考一下，要得到这个角的平分线，能想到哪些方法呢？可以用度量法，用量角器测量角度，进而画出角平分线。也可以采用折叠法，通过折叠使角的两边重合，沿折痕就能画出角平分线。度量法和折叠法分别从数和形的角度，将角分成两个相等的角，从而得到角平分线。生活中，工人师傅在木板上画角平分线，用度量法或折叠法比较麻烦，那他们是怎样得到角平分线的呢？我们来看。

　　如图是一个平分角的仪器，其中AB = AD，BC = DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，那么AE就是这个角的平分线。看了刚才的操作，请同学们思考，AE为什么是角平分线呢？要说明AE是角平分线，即要证明∠BAC = ∠DAC。根据全等三角形的学习经验，把这两个角放在△ABC和△ADC中，再证明这两个三角形全等。题目已知AB = AD，BC = DC，证明这两个三角形全等还缺一个条件，能找到吗？对，还有公共边AC，这样就可根据“边边边”判定这两个三角形全等，得出∠BAC = ∠DAC，从而说明AE是角平分线。

　　受此启发，能用直尺和圆规作出角的平分线吗？思考一下，利用圆规如何体现仪器中的AB = AD呢？可以这样操作，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于点B、点D。根据这个思路，我们用尺规作一个角的平分线。已知∠AOB，求作∠AOB的平分线。第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。第二步，分别以点M、N为圆心，大于1/2MN长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。第三步，画射线OC，即为所求。这样我们就用尺规作出了角平分线，和仪器工作原理一样，尺规作角平分线的依据也是“边边边”。同学们，刚才探索了用尺规作角平分线的方法，都学会了吗？请在纸上任意画一个角，记为∠AOB，用尺规作出它的平分线。结合所画图形，我们探索角平分线的性质。我们知道研究几何图形的性质，就是研究组成图形的元素之间的数量关系和位置关系。那么这个图形的组成元素有哪些呢？有角的两边、角平分线，还有∠AOC、∠BOC、∠AOB。由AC平分∠AOB，可得这三个角的数量关系，∠AOC = ∠BOC = 1/2∠AOB。

　　除此以外，角平分线还有什么性质呢？在角平分线上任取一点P，这个点与角的两边有怎样的关系呢？回忆一下，点与直线有什么关系？对，我们研究过点到直线的距离，也就是点到直线垂线段的长度。由此能在图中画出这两条垂线段吗？若PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，那么PD、PE的长度就是点P到角两边的距离。

　　请大家画出图形，量一量PD、PE的长度，发现了什么？通过测量可发现PD = PE。在OC上再找一点P'，它到∠AOB两边的距离还相等吗？请同学们再次画图测量。经过画图测量，发现P'D'与P'E'也相等，也就是角平分线上的点到角两边的距离相等。能用文字命题概括这个发现吗？由此得出猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等。对于这个猜想，还要用严格的逻辑推理来证明。

　　要证明这个猜想，先分析命题的题设和结论，能说出它的题设和结论吗？题设是一个点在角的平分线上，结论是这个点到角两边的距离相等。这样就可根据题意画出图形，用符号语言写出已知和求证。如图，∠AOC = ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，求证PD = PE。