师：同学们好，上一节课我们学习了角的平分线的性质。回忆一下，你们学会了哪些知识，获得了哪些技能呢？我们学会了用尺规作一个角的平分线，大家还记得作图方法吗？我们一起回顾一下作图过程。我们还探索了角的平分线的性质，谁能说说这个性质的内容？

　　生：角的平分线的性质是角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

　　师：非常好。用符号语言表示就是：因为 OP 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以 PD = PE 。利用角的平分线的性质，我们解决了一些简单的问题。在解题过程中，大家积累了哪些经验技巧呢？若已知了角的平分线，要联想到角的平分线的性质，结合图形找到并建立性质模型，得到角的平分线上的点 P 到角的两边的距离相等，即 PD = PE 。有的时候在图中不能直接找到性质模型时，还要作出角平分线上的点 P 到角的两边的垂线段，构造出性质模型，再根据角的平分线的性质得到 PD = PE 。

　　同学们，刚才我们回顾了上节课的学习内容，本节课我们将继续探索角的平分线的性质。大家来看这个问题。如图，△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P 。请同学们思考一下，点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等吗？要解决这个问题，首先要找到这三个距离是图中哪些线段的长度，然后再分析这些线段的长度是否相等，谁能在图中找到这三条线段？

　　生：过点 P 作出三边的垂线段 PD、PE、PF，这三条垂线段的长度就是点 P 到三边的距离。

　　师：非常好。接下来请同学们思考一下怎样判断 PD、PE、PF 这三条线段是否相等呢？题目已知了 BM 平分∠ABC 。根据刚才的复习，能从图中找到角的平分线的性质模型吗？

　　生：能找到，由 BM 平分∠ABC，根据角的平分线的性质可得 PD = PE 。

　　师：对，同理由 CN 平分∠ACB 可得 PE = PF ，这样就可以得到 PD = PE = PF ，也就说明了点 P 到三角形三边的距离相等。

　　继续来看刚才的题目，已知条件中给出了 BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 。现在如果我们连接 AP，请同学们思考一下 AP 是否也平分∠BAC 。为了说明 AP 平分∠BAC，就要证明∠BAP = ∠CAP 。把这两个角放在直角三角形 ADP 和直角三角形 AFP 中，怎样证明这两个三角形全等呢？

　　生：根据前面已证的 PD = PF ，再加上公共边 AP = AP ，就可以根据 HL 证得 Rt△ADP ≌ Rt△AFP ，从而得出 AP 是∠BAC 的平分线。

　　师：经过推理证明，我们发现在∠BAC 的内部，如果点 P 到∠BAC 的两边的距离相等，那么 AP 平分∠BAC 。由此能用文字命题归纳出这个发现吗？

　　生：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

　　师：这样一来，经过刚才的探索和证明，我们就得到了角的平分线的判定。角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。这个判定的基本模型如图，用符号语言表示为：因为 PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ，所以 OP 平分∠AOB 。角的平分线的判定的题设和结论正好与角的平分线的性质相反。根据性质可以由角平分线得到距离相等，而根据判定，可以由距离相等得到角平分线。再来看刚才思考的问题。我们通过证明两个三角形全等得出两角相等，从而说明 AP 平分∠BAC 。现在能运用角的平分线的判定 AP 平分∠BAC 吗？先从图中找出角的平分线的判定模型。