师：同学们，今天我们一起来学习最短路径一。我们曾经遇到过这样的问题，如图所示，从a地到b地有3条路可供选择，你们会选走哪条路最近？理由是什么呢？

　　生：（思考后回答）选路径二，因为两点之间线段最短。

　　师：很好。我们还遇到过这样的问题，如图，点a、b分别是直线L两侧的两个点，如何在L上找到一个点，使得这个点到点a、点b的距离之和最短呢？

　　生：（思考后回答）连接ab交L于点c，则点c就是所求点，理由还是两点之间线段最短。

　　师：非常正确。接下来我们来看一看数学史上有名的将军饮马问题。将军从山脚下的a点出发，走到河边饮马后再回到b地，怎样走才能使走的路程最短？我们先把这个实际问题抽象成数学问题，把河边L近似地看成一条直线，a、b为L同侧的两点，c为L上的一个动点，当c在L的何处时，AC与BC的和最小呢？这个问题和刚才的问题之间有什么共同点和不同点？

　　生：（思考讨论后回答）共同点都是要在直线L上找一点c，使线段AC与BC的和最小；不同点是刚才图中a、b分布在L的异侧，现在a、b分布在L的同侧。

　　师：没错。当两点位于L的一侧时，我们可以用两点之间线段最短来解决，直接连接ab，它与L的交点c即为所求点。那么当a、b分布在L的同侧时，我们如何来解决呢？

　　生：（思考后回答）如果能把b移到L的另一侧b'处，同时对L上的任意点c，都能保持线段CB与CB'的长度相等，就可以把图2转化成图一来解决。

　　师：那如何转化呢？如何才能找到b'呢？

　　生：找b关于L的对称点b'，连接ab'，交L于点c，连接BC，此时AC + BC最小。

　　师：很好。因为b与b'关于直线L对称，c在直线L上，所以CB = CB'，那么CA + CB = CA + CB' = AB'。那你们会证明这个点c就是我们所要求的点吗？

　　生：（思考后回答）在L上任取异于c点的另一点C'，连接AC'、BC'、B'C'。因为L是BB'的对称轴，而CC'在L上，所以BC = B'C，BC' = B'C'。所以AC + BC = AC + B'C = AB'，而在三角形AB'C'中，AB' ＜ AC' + B'C'，所以AC + BC ＜ AC' + B'C'，因为B'C' = BC'，所以AC + BC ＜ AC' + BC'，即AC + BC最小，点c为所求点。

　　师：非常棒。当然，我们除了可以找b关于L的对称点b'，同样我们也可以找a关于L的对称点a'，连接a'b，交L于点c，这个c与刚才的点c为同一个点。在解决将军饮马这个实际问题时，我们先把它抽象为数学问题，然后根据轴对称的知识，把L同侧的两点转化为L异侧的两点，再利用两点之间线段最短来找到点c，从而解决了这个实际问题。好，接下来请同学们利用刚才所学知识来完成例一。牧马人从a地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到b处，请画出最短路径。

　　生：（思考后回答）把草地、河抽象成直线L1、L2，找a关于L1的对称点A1，再找b关于L2的对称点B1，连接A1B1，交L1于点C，交L2于点D，依次连接AC、CD、DB，从而构造出最短路径。由对称性可知，AC = A1C，BD = B1D，所以AC + CD + DB = A1C + CD + DB1 = A1B1。由两点之间线段最短可得，C、D为所求点，所以从a到c到d再到b的路径为最短路径。