师：同学们好，今天我们一起学习轴对称复习课。同学们先整理一下本章所学知识，然后根据它们之间的联系，画一个本章的知识结构图。

　　本章从生活中的图形入手，学习了轴对称及其性质，了解了轴对称在现实生活中的广泛运用。在此基础上，利用轴对称变化，探索了等腰三角形的性质，学习了等腰三角形的判定方法，并进一步学习了等边三角形的性质。下面我们将从五个方面对本章所学内容进行回顾。

　　一、轴对称及轴对称图形

　　其思想方法如下：

　　关于某直线对称的两个图形是全等形。

　　若两个图形关于某直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线。

　　若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称。

　　轴对称的这些性质，是证明线段或角相等，以及图形变化等的重要工具。

　　我们来看例一，图一中的图形不是轴对称图形的是？判断一个图形是不是轴对称图形，可以通过折叠，也可以运用轴对称的判定方法——对应点连线是否被对称轴垂直平分，所以C图形不是轴对称图形。

　　我们再看例一的针对训练，两个全等的三角形，可以拼成各种不同的图形，图2已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形，所画三角形可以与原三角形有重叠部分。

　　老师这儿列出了三种画法，其中直线l为对称轴。由这道题目我们可以知道，解补充型轴对称图形问题的关键，是先确定对称轴，对称轴的位置一般有四种：水平线、铅直线、斜向上的直线、斜向下的直线。

　　二、轴对称变化

　　其思想方法为：轴对称变化是指由一个平面图形得到它的轴对称图形，用坐标表示轴对称是从数量关系的角度刻画了轴对称变化。学习轴对称变化，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会通过简单的图案设计、确定最短路线等，进一步体会轴对称的应用价值。在几何证明方面，主要体现在把图形通过翻折等变换，把已知条件和待求结论相对集中，使证明或计算简便。

　　我们来看例2，如图，四边形ABCD是直角梯形，第一问直接写出点A、B、C、D的坐标，第二问画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形。

　　第一问结合图形，很容易写出这4个点的坐标，第二问可以先写出点A、B、C、D关于y轴的对称点的坐标，然后再描点，最后连线即可。

　　由图可知，A点坐标（-2，-1），B点坐标（-4，-4），C点坐标（0，-4），D点坐标（0，-1）。第二步根据A、B两点关于y轴的对称点分别为E点（2，-1）、F点（4，-4），在平面直角坐标系中找出点E、F并连接各点，图5当中的四边形EFCD即为所求图形。

　　我们再看例2的针对训练，如图6，在三角形ABC中，BC平行于x轴，BC = 2，点A的坐标为（-4，3），点B的坐标为（-3，1）。第一问画出三角形ABC关于y轴对称的三角形A'B'C'，第二问求以点A、B、B'、A'为顶点的四边形的面积。

　　解第一问，因为BC平行于x轴，且BC = 2，B点坐标为（-3，1），所以点C的横坐标为 -1，纵坐标为1，即C点坐标为（-1，1），所画出来的三角形A'B'C'如图7所示。

　　第二问，四边形AB B'A'为梯形，由对称性可知，A'坐标（4，3），B'坐标（3，1），所以AA' = 8，BB' = 6，以点A、B、B'、A'为顶点的四边形的面积为$\frac{1}{2}×(6 + 8)×2 = 14$。

　　由这道题可知，画一个图形关于某直线的对称图形，我们可以先画几个关键点关于某直线的对称点即可。

　　三、线段的垂直平分线

　　其思想方法为：线段的垂直平分线是指经过线段的中点，并且与线段垂直的直线。它的主要性质是，线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，反之，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

　　因此，对于涉及线段垂直平分线的题目，可直接应用线段垂直平分线的性质，证明线段或角相等，计算线段或角的大小。

　　我们来看例3，如图8，在三角形ABC中，DE是AC的垂直平分线，三角形ABC与三角形ABD的周长分别为18厘米和12厘米，求线段AE的长。

　　因为DE是AC的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，我们可以得到DA = DC，从而三角形ABC与三角形ABD的周长差即为AC的长，再由DE为AC的垂直平分线可知，AE = $\frac{1}{2}$AC，从而可以求解。

　　解：由题意得AB + BD + CD + AC = 18，AB + BD + AD = 12。因为DE是AC的垂直平分线，所以AD = DC，AE = $\frac{1}{2}$AC。由一式减二式可得AC = 6，所以AE = 3。

　　我们再看例3的针对训练，如图9，在Rt三角形ABC中，∠C = 90°，E为AB的中点，且DE垂直于AB于E，∠1 : ∠2 = 1 : 2，求∠B和∠BAC的度数。

　　解：设∠1 = x，则∠2 = 2x，由线段垂直平分的性质可得BD = DA，所以∠B = ∠2 = 2x。因为∠C = 90°，所以x + 2x + 2x = 90°，解得x = 18°，所以∠B = 2x = 36°，∠BAC = 3x = 54°，即∠B = 36°，∠BAC = 54°。

　　由这道题目我们可以知道，由线段垂直平分线的性质，我们可以得到一些线段或角相等。

　　四、利用等腰三角形的性质进行计算或证明

　　其思想方法为：等腰三角形的性质主要有：1. 等边对等角；2. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。等腰三角形的性质广泛应用于几何的证明与计算，特别是在证明线段相等、角相等、线段垂直等问题上，应用等腰三角形“三线合一”的性质比较简洁。