师：各位同学大家好！今天我们一起来学习6.3节对顶角。我国著名思想家、教育家墨子对光学很有研究，他曾通过小孔成像阐述光的直线传播原理。如果将光线抽象为两条直线，把小孔看作两条直线的交点，这两条直线就会形成四个小于平角的角，分别是∠AOB、∠AOB′、∠A′OB′、∠A′OB 。那这四个角之间有怎样的关系呢？这就是我们今天要研究的重点内容。

　　首先，为了更方便地表示角，我们把这四个角表示为∠1、∠2、∠3、∠4。根据之前学过的知识，∠1与∠2构成一个平角，它们有一条公共边，另一条边互为反向延长线。从位置关系上看，这两个角相邻；从数量关系上看，它们互补。所以，我们称这两个角为邻补角。图中共有4对邻补角，分别是∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1。

　　那在这四个角中，∠1和∠3、∠2和∠4这两对只有公共顶点的角，又具有怎样的位置和数量关系呢？我们先来看∠1与∠3的位置关系。∠1与∠3是由直线AB与A′B′相交后形成的两个角，它们有公共顶点，两边互为反向延长线。我们把具有这样特征的两个角叫做对顶角。那么，对顶角需要满足什么条件呢？总结如下：一是有公共顶点，二是两边互为反向延长线。

　　通过刚才的学习，我们认识了对顶角。生活中有对顶角的例子吗？老师给大家看两张图片，一张是铁轨，一张是剪刀，我们可以看到铁轨和剪刀中都蕴含着对顶角的基本模型。认识了对顶角，也知道它在生活中很重要，接下来我们深入研究对顶角。

　　师：请同学们画一画，能否画出∠AOB的对顶角呢？根据对顶角的条件，要有公共顶点，两边互为反向延长线。所以，我们只需要反向延长射线OA，得到射线OA′；再反向延长射线OB，得到射线OB′，那么∠A′OB′就是∠AOB的对顶角。画完对顶角后，我们再来辨析一下，在下列四幅图形中，∠1和∠2是对顶角的图形是哪一个呢？

　　师：我们逐图分析。A选项中，∠1与∠2有公共顶点，但它们的两边都不是互为反向延长线，所以A选项错误。B选项中，∠1与∠2有公共顶点，有一条边互为反向延长线，但另一条边不满足反向延长线的条件，因此B选项也错误。C选项中，∠1与∠2有公共顶点，且两边互为反向延长线，所以这道题答案选C。D选项毫无疑问是错误的，错误原因有两个：一是∠1与∠2没有公共顶点；二是∠1与∠2有一组边不是互为反向延长线。大家做对了吗？

　　我们刚才研究了对顶角的位置关系，那对顶角是否和邻补角一样存在数量关系呢？我们先测量这三幅图中的∠1与∠2的度数，并填入表格。经过测量，第一幅图中∠1与∠2都是45度，第二幅图中∠1与∠2都是60度，第三幅图中∠1与∠2都是90度。由此，我们得到一个猜想：对顶角是不是相等呢？猜想是得到数学结论的第一步，接下来我们利用几何图形来论证这个猜想。

　　师：来看图，直线AB相交于点O，你能说明∠1 = ∠3，∠2 = ∠4吗？结合图形可以发现，图中存在对顶角和邻补角，邻补角∠2同时是∠1和∠3的邻补角。所以，我们可以得到∠1 + ∠2 = 180度，∠3 + ∠2 = 180度。根据同角的补角相等，我们可以得出∠1 = ∠3。同样的方法，也能得到∠2 = ∠4。这样我们就得到结论：对顶角是相等的。

　　那如何正确使用对顶角的性质呢？我们可以这样描述：因为∠1与∠3是对顶角，所以∠1 = ∠3。

　　现在我们知道对顶角具有位置和数量关系，接下来利用对顶角的性质解决一些题目。

　　师：算一算，AB与CD相交于点O，∠DOE = 90度，∠AOC = 72度，如何求出∠BOE的度数？从图中可以看到，两线相交所成的两对顶角中，与∠AOC有关的是∠BOD。根据对顶角相等，可得∠BOD = ∠AOC = 72度。再利用角的和差关系，可得∠BOE = ∠DOE - ∠BOD = 90度 - 72度 = 18度。