师：同学们好，今天我们要上的课题是字母表示数。为什么要用字母来表示数？字母又如何表示数？下面我们一起来开展今天的学习。

　　在日常生活中，人们经常用符号和图标来传递某种信息，表示某种具体的意义。同学们认识这些图标吗？第一个是可回收物的标志；第二个表示无线网络全覆盖；第三个图标，上面表示附近有学校，下面圆圈中的30表示因为附近有学校，行驶速度被限制在30公里每小时以内；第四个是无障碍设施，是关爱残疾人的标志。人们为什么要使用这些图标来表示意义呢？因为这样的图标具有通用性，在现实生活中没有障碍，大家能非常简明、迅速地捕捉到它所表示的意义。其实在数学中也有类似情况，用通用简明的方式来表示数和数量关系。

　　我们先来看这个例子，请同学们观察屏幕上的这些等式，这样的式子能说出多少？说得完吗？相信屏幕前的同学们一定可以举出无穷无尽的例子，那么有没有更简洁的方式能把它们所表示的关系都表达出来？我们可以用这样的式子，a加b等于b加a，这就是我们小学所学的加法交换律。除了加法交换律，我们还用字母表示了加法结合律、乘法交换律、乘法分配律等等。所以，其实在我们已有的学习过程中，已经接触过用字母来表示数学运算律。

　　我们再看，在小学我们经常会遇到平面图形的周长、面积和立体图形体积的计算。下面请同学们用语言描述一下以下图形的面积、周长、体积是怎么算的。三角形的面积计算是用底乘高除以2；圆的周长计算是用π乘以圆的直径；长方体体积是长乘宽乘以高。当我们给这些图形的相关元素用字母来表示的时候，就可以更简洁地说出相关的计算公式。三角形面积，现在这种情况下，可以说成是s等于二分之一ah；圆的周长，如果把它的半径表达为r的话，它的圆周长就是c等于2πr；长方体的长宽高分别用字母a、b、h来表示的时候，长方体的体积v就等于a乘b乘以h。所以实际上我们在小学里面已经接触过用字母来表示数学公式。

　　在生活中同样有这样的例子。我们来看下面这则启事。物业公司的保安在某一栋楼前捡到一个钱包，说内有现金若干，望失主尽快前来认领。为什么这里要用若干元而不写清具体数目呢？写若干元是为了能够寻找到真正的失主，预防可能存在的冒领风险。那么在这个问题中，这个若干元能不能用字母来代替呢？是否也可以将它用一个字母a或者x元来表示，即内有现金a元或内有现金x元等等。所以在生活中也能遇见用字母来表示具体数的实例。

　　好，我们再看这样的例子，如果现在有一个数是a，要求把它增加30%以后得到什么？一个数增加它的30%，这个30%量化后就是a的30%，所以增加后的数可以表示成在a的基础上加上a的30%，记为a加30%a。或者把原数视为单位“1”，增加30%以后，就是单位“1”增加30%，再乘以原数a，而一加30%就是130%，所以也可以用130%a这样的方式来表示所要表达的数。

　　第二个例子，如果n表示整数，那么如何来表示一个偶数呢？根据偶数的定义，偶数是能被2整除且商为整数的数。所以当n表示整数时，构造一个能被2整除的数，用2乘n就可以表示一个偶数，因为n的2倍一定能被2整除，且商仍然是整数，所以2n就可以表示一个偶数。

　　例3，如果一个笔记本是5元，一支钢笔是6元，要买n本笔记本和n支钢笔，需要多少元？在这个问题中，笔记本所花的总金额是单价乘以数量，即5n元，钢笔的总金额是6乘以n元，也就是6n元。把这两项总和加起来就是问题的答案。但同学们要注意，因为最后一步是5n与6n之间的加法，且问题后面要写单位“元”，所以表示的时候要给5n加6n加上一个括号。关于这背后的规则，我们会在下一节课跟同学们具体阐述。

　　最后一个例子，某工厂上月利润为y元，本月利润是上月利润的3倍少20元。那么本月利润如何表示？根据题意，本月利润是上月的3倍，即y元的3倍，然后再减少20元，所以本月利润就是y的3倍减20，将它表示为3y减20。同样，因为3y减20的最后一步是减法，且后面有单位，所以要在这里给它加括号。

　　从以上这些例子我们可以看到，不管是在小学，还是现在遇到生活问题或者数学问题的时候，字母确实可以用来表示数以及数量关系，而且用字母表示数和数量关系具有一般性。怎么解释这个一般性呢？比如说刚才四个问题中的第一个问题里的数a，a可以是整数、小数、正数，也可以是负数，所以a就具有一般性；第二个问题中的n表示整数，这个整数可以是1、2、3、4、5等任取。在第三个问题中，笔记本n本和钢笔n支可以表示任意的自然数，所以具有一般性，它不是特定具体的数，可以在所选范围内选取任意一个数。

　　在了解了字母可以表示数以及数量关系之后，我们进一步看，字母还可以用来表示一些规律，来看下面的例题。例1，按下列数的排列规律写出第n个数。第一组数是2、5、8、11、14等等。在这类问题中，规律往往包含着序列号，如果不能一眼想出答案，不妨把序列号先标注在旁边，寻找问题中的不变量和变化量，变化量往往会跟序列号相关。第一个数是2，后面每一个数是怎样变化的呢？第二个数在2的基础上加3，8在5的基础上再加3，11在8的基础上又加3，也就是说以2为起始，后面每一个数都比前一个数多3。那么第n个数应该比前一个数多出几个3呢？对照序列号容易发现，第n个数是在2的基础上增加了n减1个3，所以第n个数可以表达为2 + 3(n - 1)。我们也可以换个视角，因为这一组数每一个都比前一个增加3，把每一个数都加3之后，2就变成了3，5就变成6，8就变成9，这一组数列就变成了3、6、9、12、15，都是3的倍数。那么第n个数加1就变成3n，所以第n个数应该是3n - 1。

　　第二个小问题，一组数列是2、4、8、16、32。可以看到每一个数都是前一个数乘以2，4 = 2×2，也就是2的平方，8是2的3次方，16是2的4次方。结合序列号，可知第n个数应该是2的n次方。所以要寻找每一组数中不变的东西，第二组数都可以写成乘方形式，底数不变都是2，指数依次增加。

　　第三组数列，因为给出的是分数，不妨把它整体拆分为部分来研究。先看分母2、3、4、5、6，第一个数分母是2，第二个数分母是3，以此类推，第n个数的分母应该是n + 1。再看分子，第一个数分子是1，第二个分数分子是4，第三个数分子是9，1、4、9、16、25，同学们是否敏感地捕捉到分子其实是正整数的平方，对照序列号，第n个数就是$\frac{n^{2}}{n + 1}$。