师：同学们，今天我们来学习有理数和无理数。什么是有理数、无理数呢？我们先从一段数学史说起。历史上每次革命都是对权威的挑战，往往伴随着流血和牺牲。在数学王国里，也曾有这样悲壮的经历。古代古希腊著名数学家毕达哥拉斯认为，世界上所有的数都可以用整数或者分数来表示。然而，他的学生希帕索斯却发现了除整数和分数以外的数，这无疑是对权威的挑战。他这一伟大发现，却也是他悲惨命运的开始。因为当时毕达哥拉斯是权威的象征，如同神一般的存在。当时的人们根本不理解希帕索斯，结果他被毕达哥拉斯学派的忠实信徒淹死在大海之中，葬身鱼腹。今天，我们就一起来参与这场伟大的探索之旅。

　　师：从上几课的学习，我们知道正整数、负整数和0统称为整数，正分数、负分数统称为分数。3可以写成3/1，0可以写成0/1， -1等于 -1/1。当然，除了1作为分母，像3也可以写成6/2、9/3等等。数学上把能够写成分数形式m/n（m、n是整数，n≠0）的数，叫做有理数（rational number）。从字面上看，rational有“合理的”意思，也就是说有理数就是合理数。因为毕达哥拉斯当时具有权威性，他的说法就被叫做合理的。而整数和分数显然都可以化为分数的形式，由此可见，整数和分数都是有理数。

　　师：看这串数字，大家都认识吗？没错，这些都是我们小学学过的有限小数和循环小数。那么，有限小数和循环小数是有理数吗？有限小数0.2可以写成1/5， -0.7可以写成 -7/10， -3.11等于 -311/100。显然，有限小数能化为分数，说明它就是有理数。循环小数呢？我们来看，0.33循环等于1/3，0.2626循环等于26/99，2.266循环等于34/15。

　　师：关于循环小数和分数间的转换方法，课本17页有一个“读一读”内容，感兴趣的同学可以去看一看。从上面可以看到，无论是有限小数还是循环小数，都能化为分数，也就是说它们也都是有理数。我们之前所学过的数都是有理数，难道毕达哥拉斯的说法是正确的？希帕索斯又发现了什么呢？下面我们来做一个小实验，将两个边长为1的小正方形沿图中的对角线剪开，重新拼成一个大正方形，它的面积为2，大家会拼吗？请暂停视频拼一拼。拼对了吗？我们假设新正方形的边长为a，由于它的面积是2，所以a2 = 2。a是有理数吗？如果它是有理数，那它是整数还是分数呢？

　　师：如果是整数，我们从熟悉的整数开始分析。我们知道12 = 1，22 = 4，a2在1和4之间，所以a大于1而小于2。它既然在1和2之间，就不可能是1或2，更不会是其他整数。那么a不是整数，它会不会是分数呢？它在1和2之间，我们用1和2之间的分数来试试。(3/2)2 = 9/4，大于2，显然a不是3/2；(4/3)2 = 16/9，a也不是4/3；(5/3)2 = 25/9，a也不是5/3。是不是我们没试到呢？大家再在1和2之间取几个分数试试看，会发现取的分数的平方都不会是2，而且每个分数的平方结果还是分数。

　　师：由此可见，a不可能是分数，它既不是整数，又不是分数，那它到底是什么数呢？因为12 = 1，22 = 4，a2 = 2，所以a在1和2之间，a应该是一点几。a是一点几呢？我们来试一试。1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，2介于1.96和2.25之间，所以a在1.4和1.5之间，也就是说a大约是一点四几。那它到底是一点四几呢？再试一试，1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164，2介于它们之间，所以a在1.41和1.42之间。再试，发现2介于1.4142和1.4152之间，所以a大于1.414，小于1.415。这样的探索可以不断进行下去。后来查阅资料会发现，a是这么长一串数字，后面还有省略号，还没写完。它后面的数有规律吗？会循环吗？对，它不可能是循环小数，因为如果它是循环小数，就一定会化为分数，而我们刚刚探索发现a不可能是分数。事实上，a是一个无限不循环小数，我们把无限不循环小数叫做无理数。除了平方等于2的数，还有其他无理数吗？当然有，比如平方等于5的数，立方等于4的数。再比如1.010010001……（每两个1之间依次增加一个0），这样可以人为造出一个无限不循环小数。还有我们小学学过的圆周率π，它的值是3.141592653589……，也是一个无限不循环小数。