师：同学们，大家好。我们先来列式计算几个问题。第一个，8个苹果分给4个小朋友，每个小朋友平均分几个呢？8÷4 = 2。第二个，8个苹果5个小朋友分呢？8÷5 = 1.6。8个苹果6个小朋友分，每个小朋友分到8÷6 = 1.33（3循环）。如果8个苹果7个小朋友分，每个小朋友又平均分到几个呢？8÷7 = 1.142857142857（142857循环）。观察各个算式左右两边形式上的特点，你们有怎样的发现？

　　生：等式左边都是分数形式，等式右边有的是整数，有的是小数。

　　师：再观察这几个小数有什么特点呢？

　　生：要么是有限小数，要么是循环小数。

　　师：非常好。那么是否所有的整数都可以写成分数形式呢？

　　生：可以，比如说5，可以写成5/1，所有整数都能写成分母为1的分数。

　　师：没错，有限小数也可以写成分数，比如1.6就可以写成8/5。那么问题来了，循环小数都能写成分数吗？我们来看课本17页的读一读。如果一个无限小数的各位数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数就叫做无限循环小数，简称循环小数。其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节。比如0.66（6循环），它的循环节就是6，可写作0.6（6上面加点）。像这样的循环小数称为纯循环小数。又如0.133（3循环）、0.3456456（456循环），它们的循环节分别是3、456，分别可写作0.13（3上面加点）、0.3456（456上面加点）。像这样的循环小数称为混循环小数。那么纯循环小数化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数。比如0.66（6循环），分子就是循环节6，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数。刚刚循环节6只有一个数字，所以分母上的9也就只有一个，这样0.66（6循环）就可以写成6/9，通分之后等于2/3。再比如0.018018（018循环），它的循环节是018，写在分子上就是18（最前面的0省略），分母由3个9组成，因为它的循环节有3个数字，约分之后等于2/111。学会了纯循环小数化为分数，我们再来看看混循环小数如何化为分数呢？其实混循环小数可以先化为纯循环小数，然后再化为分数。比如0.133（3循环）这个混循环小数，把它扩大10倍变为1.33（3循环），为保证数的大小不变，还得乘以1/10。然后把1.33（3循环）拆成1 + 0.33（3循环），再用分配律把1/10分配进去，就成了1/10 + 1/10×0.33（3循环），而0.33（3循环）等于3/9，因此最后答案分数形式为2/15。同学们听懂了吗？再来巩固一下，0.3456456（456循环）这个数，我们先把它写成3.456456（456循环），为使数的大小不变，还得乘个1/10。后面把小数部分和整数部分拆开，0.456456（456循环）就可以写成456/999，最后的结果就是1151/3330。所以刚刚的问题，是否所有的整数、有限小数、循环小数都能够化为分数呢？

　　生：答案是肯定的，所有的整数、有限小数和循环小数都能够化为分数。

　　师：对，我们把能够写成分数形式m/n（m、n都是整数，且n≠0）的数都叫做有理数。小数里面包括有限小数、无限小数，那么无限小数里面只有无限循环小数吗？会不会存在无限不循环小数呢？

　　生：有，比如圆周率。

　　师：对呀，我们比较熟悉的无限不循环小数就是圆周率。有兴趣的同学可以去查一下资料，看看圆周率算到哪一位是吉尼斯纪录的保持者。有限小数能写成m/n的形式，是有理数，循环小数也能写成分数形式，所以也是有理数。现在要同学们思考，无限不循环小数是否也是有理数呢？不妨来玩一个拼图游戏，将两个边长为1的小正方形，沿图中的红线剪开，重新拼成一个大正方形。因为大正方形是由两个小正方形拼接而成的，所以它的面积是两个小正方形的面积之和，也就是说大正方形的面积应该是2。拼好之后，我们发现面积为2的正方形，它的边长不知道，这个边长a究竟等于多少？a会不会是个整数？由于12 = 1，22 = 4，那么谁的平方等于2呢？我们发现a是一个大于1且小于2的数，1到2之间不再有其他整数了，说明a不是一个整数。a不是整数，那它是分数吗？3/2×3/2 = 9/4，所以a不是3/2；4/3×4/3 = 16/9，5/3×5/3 = 25/9，发现a也不是4/3、5/3。刚刚我们知道a是1到2之间的一个数，所以在讨论考察的时候，可以把分母从小到大排列，一个一个地试。试到5/4×5/4、7/4×7/4的时候，它们的乘积都不是2。一直这样算下去，我们发现a根本不可能写成一个分数形式，所以a不是个分数。既然a不能写成分数形式，那它还会是一个有理数吗？