师：同学们大家好，今天我们继续学习角的有关内容，重点介绍角的和差以及角平分线。先来看生活中的数学问题，踢足球是很多男生喜欢的运动，现在有三名运动员在不同位置射门，大家觉得哪个位置射门进球可能性最大，哪个位置可能性最小呢？平时也常听到同学们说射门角度偏小不好射门，也就是说，射门进球可能性大，射门范围的角度就要大。大家估算一下，是不是蓝颜色的角最大？那哪个位置射门进球可能性最小呢？这就意味着射门范围内角度要最小。红颜色和粉蓝颜色的角比较，感觉红颜色的角偏小一点。

　　在这个问题中，我们运用了估算的数学意识，但数学是严谨的，估算后还需通过度量来证实。虽然刚刚判断蓝角最大、红角最小，但还是要进行度量说明。所以今天我们首先学习如何比较角的大小。同学们回忆一下，之前比较两条线段大小，第一种方法是度量法，从数的角度，直接量出长度进行比较；第二种方法是叠合法，让两条线段一个端点重合，从另一个端点位置判断大小关系，这是从形的角度比较。同样，比较两个角的大小也可以用这两种方法。我们来比较角 AOB 和角 DEF 的大小。

　　第一种方法是度量法，这就需要用到量角器。用量角器量角 AOB，读数在 45 处，可知角 AOB 是 45 度；量角 DEF，读数是 60 度，所以角 DEF 是 60 度。通过度量，从数的角度能发现 45 度小于 60 度，即角 AOB 小于角 DEF，这就是借助量角器从数的角度用度量法比较。

　　那用叠合法比较这两个角大小行不行呢？叠合法是从形的角度比较。用叠合法比较两条线段大小时，先让一个端点重合，对于角来说，角有两条边，所以可以先让角的一条边重合，看另一条边的位置关系。我们让这两个角的顶点先重合，再让 OB 和 EF 重合，另一条边都落在重合边的同侧。这时观察到角 AOB 落在角 DEF 的内部，所以得出角 AOB 小于角 DEF。注意，从图中直观看到，角 AOB 两条边张开的开口小，所以角 AOB 小，这和角 AOB 所画边的长短无关。也就是说，角的大小只与开口大小有关，与所画边的长短无关。通过叠合法，我们从形的角度也比较出了角 AOB 与角 DEF 的大小。用叠合法比较两个角大小，可能出现三种情况：

　　第一种，OA 边落在角 DEF 的内部，此时角 AOB 小于角 DEF；第二种，当 OA 边与 ED 边重合时，这两个角相等，即角 AOB 等于角 DEF；第三种，当 OA 边落到角 DEF 的外部时，角 AOB 大于角 DEF。这三种情况可以用“内小外大”四个字概括，以此判断两个角的大小关系。

　　接下来看一个练习，如图，以 OA 为一边的角有哪几个？角的一边已确定是 OA 边，按顺序找另一条边，有角 AOB、角 AOC、角 AOD，共三个角。把这三个角按从小到大的顺序用小于号连接，根据“内小外大”，最小的是角 AOB，其次是角 AOC，最大的是角 AOD，所以连接起来是角 AOB 小于角 AOC 小于角 AOD。在这个图中还能发现，角 AOC 等于角 AOB 加角 BOC，这就讲到了角的和；角 AOB 等于角 AOD 减角 BOD，讲到了角的差。类似的，利用这张图，大家还能写出哪些有关角的和与差的关系呢？通过这道题，同学们感受一下图形中存在的角的和差问题，而且同一个角可能有不同组合方式，做题时要灵活运用。

　　接下来，老师想和大家一起动手，在纸片上画一个角，将角对折，使折痕把角分成两个相等的角。大家看，纸片上画了一个角，对折时，折痕肯定要经过角的顶点，折过去后两条边重合，展开后，把折痕的一部分用虚线从角的顶点画出来，会发现这是一条射线，它把角分成了两个相等的角。

　　所以，在角 AOB 中，如果从角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线。比如从角 AOB 的顶点 O 处引出射线 OC，把角 AOB 分成两个相等的角 AOC 和角 BOC，那么射线 OC 就是角 AOB 的平分线。强调一下，是从角的顶点引出一条射线，把角分成两个相等的角，这条射线才叫角的平分线。在这张图中，就可以说射线 OC 是角 AOB 的平分线。

　　对于角平分线，我们可以用几何语言表述其定义。因为射线 OC 是角 AOB 的平分线，所以角 AOC 等于角 BOC 等于二分之一角 AOB，即两个小角相等，是大角的一半；或者角 AOB 等于 2 倍的角 AOC 等于 2 倍的角 BOC，也就是大角是两个小角的两倍。这是在已知 OC 是角 AOB 平分线的情况下，得到角之间的数量关系。反过来，如果知道角之间的数量关系，也能判断这条射线是不是角的平分线。比如已知角 AOC 等于角 BOC，那么就可以判断 OC 是角 AOB 的平分线。系统写出来就是：因为角 AOC 等于角 BOC 等于二分之一角 AOB，或者角 AOB 等于 2 倍的角 AOC 等于 2 倍的角 BOC，所以可以推出射线 OC 是角 AOB 的平分线。