师：同学们，今天我们要学习的课题是圆锥的体积练习。相信经过前两节课的学习，大家已经对圆锥体积的计算方法有了较深刻的理解。这节课，让我们继续走进生活，在解决实际问题的过程中，探究圆柱和圆锥体积之间的内在联系，感受数学图形之间的奥秘。

　　首先，我们来看数学书上第23页练习4的第7题。张师傅要把一根圆柱形木料加工成圆锥形。第一小问，圆锥的体积最大是多少立方分米？这里“最大”的含义该如何理解呢？大家可以在脑海中想象一下，将圆柱削成最大的圆锥会是什么样的？

　　生：是与这根圆柱形木料等底等高的圆锥。

　　师：非常正确。从图中我们能找到圆柱形底面直径和高，这也就是把它加工成最大圆锥形的底面直径和高。那么圆锥的体积可以列式为：π×(2÷2)2×3×1/3 ，通过约分可得等于π立方分米。

　　我们再来看第二小问，大家还能提出什么样的问题？

　　生：可以提出削去木料的体积是多少立方分米？

　　师：很好。我们知道削去的木料体积就是用圆柱体积减去刚才第一问求出的圆锥的体积，列式为：π×(2÷2)2×3 - π×(2÷2)2×3×1/3 ，前面这部分是圆柱形木料的体积，减号后面就是刚才第一问求出的圆锥的体积，两者相减。1 - 1/3得到削去的木料体积是2π立方分米。我想一定会有同学想到还有更简便的方法，就是利用削去木料的体积与原来圆柱之间体积的关系来解决。我们知道加工成圆锥体积是原来圆柱体积的1/3 。由此我们可以列式：π×(2÷2)2×3×(1 - 1/3) 。这里的1 - 1/3就是削去的木料占原来圆柱体积的比例，也就是2/3 。同样我们可以求出削去木料的体积是2π立方分米，这样我们的算式看上去就简洁多了。到这里我们来小结一下，在圆柱内削一个最大的圆锥，就是与圆柱等底等高的圆锥，它占圆柱体积的1/3 ，那么削去部分的体积就占圆柱体积的2/3 。

　　接下来我们来看数学书上第23页的第9题，有一块直角三角形硬纸板，分别绕它的两条直角边旋转一周，能够形成两个大小不同的圆锥，大家能计算这两个圆锥的体积吗？要想解决这个问题，我们首先要搞清楚这个直角三角形硬纸板绕着某一条直角边旋转会得到怎样的图形。我们来分别研究一下这两种情况。

　　第一种，以4厘米的直角边为轴旋转一周会得到一个怎样的圆锥呢？大家可以闭上眼睛想象一下。

　　生：会得到一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆锥。

　　师：和老师想的一样。第二种，以3厘米的直角边为轴，旋转一周会得到一个怎样的圆锥呢？

　　生：此时是一个底面半径为4厘米，高为3厘米的圆锥。

　　师：对啦。现在我们可以分别计算一下两个圆锥的体积。第一种情况，圆锥的体积是π×32×4×1/3 ，算出的结果是12π立方厘米。第二种情况，圆锥的体积是π×42×3×1/3 = 16π立方厘米。通过比较不难发现第二种情况，也就是以3厘米为轴旋转一周得到的圆锥体积较大。下面我们来看一看第11题，右图的蒙古包由一个近似的圆柱形和一个近似的圆锥形组成。这个蒙古包里的空间大约是多少立方米？要求这个蒙古包里的空间大约是多少立方米，其实就是要求下面这个近似的圆柱形和上面这个近似的圆锥形的体积之和。观察直观图，我们发现这个圆柱和圆锥的底面直径是相等的，也就是底面积相等，我们可以先求出这部分的底面积，这样可以避免重复计算。π×(6÷2)2 = 9π平方米。那么圆柱部分的体积就可以用9π×2 = 18π立方米。圆锥部分的体积用9π×1×1/3 = 3π立方米，再将它们相加18π + 3π = 21π立方米。这道题目我们还可以尝试用另一种方法来解决，下面老师来向大家介绍一下。

　　首先我们将这个蒙古包的直观图改成一个轮廓图，由于圆柱和圆锥底面积相等，圆柱的高是圆锥的两倍，我们可以将下面的圆柱从水平方向一分为二。那么分成的每一个圆柱就和上面的圆锥是等底等高的。如果我们将上面的圆锥体积看成一份，那么下面两个被分开的小圆柱体积都是3份。因此圆锥和整个大圆柱的体积比就是1 : (3 + 3) = 1 : 6。也就是圆锥的体积是下面圆柱部分体积的1/6 。我们的算式可以写成π×(6÷2)2×2×(1 + 1/6) 。前面这部分我们求出的是圆柱的体积，把它当成单位“1”，圆锥的体积占了圆柱体积的1/6 。那么整个蒙古包的体积就占了圆柱部分体积的1 + 1/6 = 7/6 。经过计算，我们可以得到圆柱和圆锥的体积之和是21π立方米。利用圆锥和圆柱之间的体积比，也可以求出蒙古包的空间大约是21π立方米。我们通过比较这两种方法可以发现它们其实本质是相同的，都是抓住了底面积相等这个重要的条件。