师：同学们，今天我们要学习苏教版小学数学六年级下册第四单元最后一课——面积的变化。我们将一起探索并发现平面图形按比例放大后面积的变化规律，在探索过程中经历由特殊到一般的学习过程，进一步积累观察、比较、分析、概括、归纳等活动经验，发展数学思考。还记得这个单元一开始学的什么内容吗？

　　生：图形的放大与缩小。

　　师：没错。通过学习，我们知道把一个图形放大或缩小，要把它所有的边按一定比例放大或缩小。这个过程中，边的长短变了，但形状不变。除了边的长短，还有什么也变了呢？

　　生：面积。

　　师：对，面积也变了。那面积是怎么变化的？它和边的变化有什么关系？这里面有没有规律？今天我们就来研究面积的变化。研究问题先从简单的开始，就从长方形入手。下面的大长方形是小长方形按比例放大后得到的，大家分别量出它们的长和宽，写出对应边长的比。小长方形长 3 厘米，宽 1 厘米，大长方形长 9 厘米，宽 3 厘米。谁来说说大长方形与小长方形长的比是多少？

　　生：9 : 3，化简后是 3 : 1。

　　师：宽的比呢？

　　生：3 : 1。

　　师：说明大长方形是小长方形按 3 : 1 放大的。请你估计一下，大长方形与小长方形的面积比是几比几？

　　（学生思考、回答）

　　师：估计得对不对呢？我们来算一算。要求面积比，就要先计算面积。小长方形面积是 3×1 = 3 平方厘米，大长方形面积是 9×3 = 27 平方厘米，那么大长方形和小长方形面积的比就是 27 : 3，化简后得到 9 : 1。接下来，请比较放大后和放大前长方形对应边的长度比和它们的面积比，有什么发现？

　　生：长度比是 3 : 1，面积比是 9 : 1，9 是 3 的平方。

　　师：面积比是不是边长平方的比，仅从这一个图形的发现还不能形成规律。其他平面图形按比例放大后，面积的比又会怎么变化呢？我们可以多找几个图形来继续研究。我们找来了正方形、三角形、圆，接下来怎么研究呢？

　　生：先研究长度的关系，记录上面的图形分别是按几比几放大的，然后研究面积，计算出放大后与放大前图形的面积，再求出面积的比。

　　师：非常好。通过量一量、算一算，我们能收集到很多数据。这时候可以请表格来帮忙把数据记录下来，这样便于比较。通过测量和计算得到下面这些数据：正方形边长放大前是 1 厘米，放大后是 3 厘米，放大后与放大前的比是 3 : 1。面积放大前是 1 的平方，等于 1 平方厘米，放大后是 3 的平方，等于 9 平方厘米，放大后与放大前的比是 9 : 1。三角形底放大前是 2 厘米，放大后是 4 厘米，放大后与放大前的比是 2 : 1；高放大前是 1 厘米，放大后是 2 厘米，放大后与放大前的比是 2 : 1。三角形面积底乘高除以 2，所以放大前面积是 1 平方厘米，放大后面积是 4 平方厘米，放大后与放大前的比是 4 : 1。圆的半径，在量之前先把半径画出来。量得半径放大前是 0.5 厘米，放大后是 2 厘米，放大后与放大前的比是 4 : 1。圆的面积是πr2，所以放大前是 0.25π，放大后是 4π，放大后与放大前的比是 4π : 0.25π，化简后得到 16 : 1。仔细观察表中的数据，比较每个图形放大后与放大前的长度比和面积比，能发现什么规律？