师：同学们好，今天我们从“铺图形”开始学习。大家准备好以下材料：画一个长18厘米、宽12厘米的长方形，再准备若干张边长为6厘米、4厘米的正方形纸片。请大家默读题目，思考一下，“正好铺满”是什么意思？

　　生：铺的时候无空隙，不重叠。

　　师：非常好。下面我们开始探究。请看要求一，观察正方形的边长和长方形的长宽，想一想哪种纸片能将长方形正好铺满。要求二，操作：分别用边长6厘米、4厘米的正方形纸片铺一铺长方形。要求三，比较两次铺的情况，思考为什么会不一样。好，开始。

　　（学生操作）

　　师：好，一起来交流一下。一开始，有的同学认为边长6厘米的正方形能将这个长方形正好铺满，也有同学觉得是边长4厘米的正方形。大家通过操作验证了自己的想法，我们一起来看看铺的过程。先用边长6厘米的正方形纸片去铺，一竖排可以铺2个，可以铺这样的3竖排，正好铺满。再用边长4厘米的正方形纸片去铺，一竖排可以铺3个，可以铺这样的4竖排，不能正好铺满。比较一下，用这两种正方形去铺同一个长方形，为什么出现不一样的情况呢？你能用除法算式来说明吗？

　　生：先看第一种，12÷6 = 2，18÷6 = 3，可以看出6既是12的因数，又是18的因数，所以能正好铺满。再看第二种，12÷4 = 3，18÷4 = 4……2，可以看出4虽然是12的因数，但它不是18的因数，所以不能正好铺满。

　　师：看来能否正好铺满，要看正方形的边长与长方形长和宽的关系。同学们根据前面的操作经验想一想，还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形呢？

　　生：边长3厘米的正方形纸片能正好铺满，因为3既是12的因数，又是18的因数。还有边长2厘米的正方形、边长1厘米的正方形也都能正好铺满。

　　师：通过刚才的探究，我们发现边长1厘米、2厘米、3厘米或6厘米的正方形纸片都能正好铺满。想一想，只要正方形的边长满足什么条件，就能正好铺满这个长方形呢？

　　生：在第一组算式中，1、2、3、6都是12的因数。在第二组算式中，1、2、3、6都是18的因数，也就是说只要边长的厘米数既是12的因数又是18的因数，就能正好铺满。

　　师：同学们，1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数。想一想，4是12和18的公因数吗？为什么？

　　生：4虽然是12的因数，但它不是18的因数，所以4不是12和18的公因数。

　　师：同学们，通过刚才的学习，我们知道了什么是两个数的公因数。那怎样找两个数的公因数呢？请默读题目，想一想，什么样的数是8和12的公因数呢？

　　生：既是8的因数，又是12的因数，这样的数就是8和12的公因数。

　　师：那我们可以用什么方法来找出8和12的公因数呢？同学们试试看，可以把找的过程写在练习本上。

　　（学生尝试找公因数）

　　师：咱们一起来看看同学们的方法。有的同学是这样找的，先分别列举出8和12的所有因数，8的因数有1、2、4、8，12的因数有1、2、3、4、6、12，再找一找，这样就找出了8和12的公因数有1、2、4，其中最大的是4。有的同学是这样找的，先找出8的因数1、2、4、8，再从8的因数中找12的因数，得到公因数1、2、4。还有的同学是这样找的，先找出12的因数1、2、3、4、6、12，再从12的因数中找8的因数。比较一下这两种方法有什么相同点呢？

　　生：这两种方法都是先列举出一个数的因数，再从中找出另一个数的因数，得到的数就是两个数的公因数。

　　师：同学们，刚才我们用不同的方法找出了8和12的公因数1、2、4，其中最大的4就是8和12的最大公因数。同学们，之前我们已经学过用集合图来表示一个数的因数，想一想如何用集合图既表示出8的因数，12的因数，还能表示出它们的公因数呢？

　　生：可以把两个圈重叠一部分。