师：同学们好，上节课我们认识了公因数和最大公因数，掌握了求两个数公因数和最大公因数的方法，还发现了它们之间的关系，感受到了数学知识在生活中的应用。今天这节课，我们将进一步研究公因数和最大公因数的相关知识。请直接写出得数，我们一起来核对一下。根据算式，你能说出哪个数是哪个数的因数吗？先看第一个算式，在这个除法算式中，70和6都是420的因数。在第二个乘法算式中，12和5都是60的因数。还有两个算式，同学们自己轻声说一说吧。

　　同学们，一个非零自然数有它的因数，那么对于两个非零自然数来说，就有它们的公因数。下面哪几组数有公因数2，哪几组数有公因数3或5呢？

　　咱们来看第一组6和27，有的同学是这样想的，分别列出6和27的所有因数，找出了它们有公因数3。也有的同学想，6是偶数，27是奇数，所以它们肯定没有公因数2。6和27的个位上都不是0或5，所以它们肯定也没有公因数5。6是3的倍数，2 + 7 = 9，9是3的倍数，所以27就是3的倍数，这两个数就有公因数3。这是根据2、3、5倍数的特征去思考的，也是个好方法。还有几组数，请同学们观察数的特征并做出判断。

　　师：好，同学们一起来交流一下。24和42，30和40每组中的两个数都是偶数，所以这两组数有公因数2。24和42每组中的两个数个位上数的和都是3的倍数，所以这两组数有公因数3。30和40每组中的两个数个位上是0或者5，所以这两组数有公因数5。同学们，两个数公因数中最大的一个就是它们的最大公因数。请你用自己的方法找一找6和9的最大公因数吧。

　　师：好，咱们一起来交流。有的同学是分别列举出6和9的所有因数，找出它们的最大公因数是3。有的同学只列举了6的因数，然后从大到小观察发现3也是9的因数，所以它们的最大公因数就是3。同学们为什么可以这样找呢？因为两个数的最大公因数不可能超过两个数中的较小数，所以我们可以从较小数的因数里去找它们的最大公因数。告诉同学们一个小知识，两个数的最大公因数可以用这样的符号来表示，6和9的最大公因数是3，就可以用这样的形式来表示，这样表示很简洁方便，不过一定要注意书写格式的规范准确。下边就请同学们用这样的方法继续找出这几组数的最大公因数，开始吧。

　　师：一起来交流一下。10和6的最大公因数是2。20和30的最大公因数是10。有同学说20和30都是整十数，10肯定是它们的公因数，而且也不存在比10更大的公因数，所以它们的最大公因数就是10。13和5的最大公因数是1，这两个数的最大公因数为什么是1呢？原来是因为13和5都是质数，它们每个数的因数只有1和它本身，所以它们的最大公因数也只能是1。好同学们，通过刚才的练习，我们进一步熟练了用列举的方法来求出两个数的最大公因数。一般我们可以列举出较小数的因数，然后从大到小观察找出这两个数的最大公因数，这样相对简便一些。下面就请同学们快速找一找这几组数的最大公因数，一起来核对一下，都找对了吗？仔细观察这里每组中的两个数有什么关系，想一想它们的最大公因数各有什么特点？

　　生：这四组数的共同特点是，其中一个数正好是另一个数的因数，它们的最大公因数都是其中较小的数。

　　师：继续来找一找这几组数的最大公因数，看看你又有什么发现？

　　师：一起来核对一下。找对了吗？同学们，你又有什么发现呢？

　　生：这四组数的共同特点是每组数的公因数都只有1，所以它们的最大公因数也就是1。

　　师：同学们，刚才我们通过观察得到了这样两个猜想，这两个猜想是否正确还需要我们进一步验证。下面就请同学们再举一些例子验证一下。

　　师：好，一起来交流。

　　生：第一个猜想，我举的例子是4和16，通过列举，它们的最大公因数是4，符合这一猜想。第二个猜想，我举的例子是7和11，通过列举最大公因数是1，也符合这个猜想。