师：同学们好，请看这是什么？对，丁字板，它是一种数学学具。在小学低年级，丁字板能帮助我们认识和学习平面图形。今天，我们借助丁字板来探究多边形的奥秘。为了研究方便，我们用点子图代替丁字板，点子图上相邻的四个点围成一个边长为1厘米的正方形，它的面积是1平方厘米。老师在丁字板上画了一个平行四边形，这个平行四边形的面积是多少平方厘米呢？我们可以用公式计算，平行四边形的底是3厘米，高是2厘米，面积就是3×2 = 6平方厘米。我们也可以用数方格的方法，整格的有4格，不是整格的，这儿一格，那儿一格，合起来也是6平方厘米。

　　师：同学们，丁字板上的多边形，既可以用面积公式计算，也能用数方格的方法得出面积。老师这儿画了一个多边形，这个图形有点复杂，该如何计算它的面积呢？对，我们可以把它分割成规则的平面图形来计算，合起来是17.5平方厘米。但如果丁字板上的多边形都这样计算，显然很麻烦。我们有没有巧妙的方法呢？今天就围绕这个内容展开研究。同学们，老师还画了这一组多边形，它们的面积分别是多少平方厘米呢？第一幅图2平方厘米，第二幅图3.5平方厘米，第三幅图4平方厘米，第四幅图4平方厘米。这些多边形形状各异，面积有大有小。

　　师：那你们觉得多边形面积的大小和什么有关呢？仔细观察，这些多边形边上有钉子，多边形内也有钉子，你们觉得钉子板上多边形面积的大小可能和什么有关呢？对，可能和多边形边上的钉子数、多边形内的钉子数有关。那钉子板上多边形的面积和多边形边上的钉子数、多边形内部的钉子数究竟有怎样的关系呢？我们接着研究。

　　师：同学们请看这一组图，来数一数这组图中多边形内的钉子数、多边形边上的钉子数以及多边形面积分别是多少。第一幅图，多边形内的钉子数是1，边上钉子数是4，面积2平方厘米。第二幅图，多边形内的钉子数是1，边上钉子数是7，面积3.5平方厘米。第三幅图，多边形内的钉子数是1，边上钉子数是8，面积4平方厘米。第四幅图，多边形内的钉子数是2，边上钉子数是6，面积4平方厘米。观察图形和表格，你们有什么发现？

　　生：多边形内的钉子数、多边形边上的钉子数、多边形的面积都在变化。

　　师：在这个变化过程中，有没有确定不变的规律存在呢？我们沿着这个方向继续研究。来看这一组图，这组图多边形内的钉子数一样，多边形边上的钉子数增加，多边形的面积也增加，多边形边上的钉子数越多，面积越大。再看这一组，多边形边上的钉子数相同，多边形内的钉子数越来越多，面积也越来越大，也就是说多边形边上的钉子数一定时，多边形内部的钉子数越多，面积越大。通过观察比较，我们发现钉子板上多边形的面积随着它内部的钉子数以及边上的钉子数的变化而变化。多边形的面积、多边形内部钉子数、多边形边上钉子数三者之间是否存在着一定的关系呢？看来钉子板上多边形的面积由内部的钉子数以及边上的钉子数决定。

　　师：影响多边形面积有内部钉子数和边上钉子数两个因素，让这两个因素同时变化研究比较困难。我们是否可以让一个量不变，让另一个量变化来研究另一个量的变化和多边形面积的关系呢？我们先让多边形内部的钉子数固定，从多边形内部的钉子数是1枚开始研究。第一号图形，多边形边上的钉子数是4枚，面积是2平方厘米。后面三幅图请同学们自己填在书上。填好了吗？校对一下，填对了吗？我们来观察表中的数据，有什么发现？

　　生：多边形边上的钉子数4枚，面积2平方厘米；多边形边上的钉子数是6，面积是3；多边形边上的钉子数是7，面积是3.5平方厘米；多边形边上的钉子数是8，面积是4。多边形边上的钉子数是多边形面积的两倍，多边形的面积是它边上钉子数的一半。

　　师：我们用字母s表示多边形的面积，边上的钉子数用n来表示，那么s就等于n除以2。通过数一数、算一算、找一找，我们发现了s = n÷2这一规律。同学们发现了这条规律，我们接着看这一组图，边上钉子数和多边形的面积之间又有怎样的关系呢？

　　1号图形，边上钉子数10，面积6平方厘米。2号图形，边上钉子数9，面积5.5平方厘米。3号图形，边上钉子数10，面积7平方厘米。4号图形，边上钉子数8，面积7平方厘米。同学们，10÷2 = 6吗？我们发现问题了。发现问题不要紧，我们回过头看看，刚才我们发现面积等于边上钉子数除以2，为什么这里钉子数除以2不等于面积呢？仔细观察这两组图有什么不同？

　　生：第一组图多边形内的钉子数都是1枚，而第二组图多边形内的钉子数不是1枚。

　　师：那么我们刚才发现的规律怎样表达更严密呢？要加上前提，当多边形内只有1枚钉子时，每个多边形的面积是它边上钉子数的一半。用a来表示多边形内的钉子数，当a = 1时，s = n÷2。我们发现了a = 1时面积和边上钉子数的关系，那当a ≠ 1时，面积和边上钉子数又有怎样的关系呢？我们来研究当多边形内的钉子数是2枚的时候的关系。

　　请看图，1号图形，多边形内的钉子数是2枚，边上钉子数是10枚，面积是6平方厘米。2号图形，多边形内的钉子数是2枚，边上钉子数是9枚，面积是5.5平方厘米。你们发现了什么呢？