师：同学们好，今天我们学习的课题是 1.3 整式。上节课我们对整式((1 - a)^2 - (2 + a)^2)，借助乘法公式，通过两种方式进行整式乘法运算。一是利用完全平方公式进行整式运算；二是借助平方差公式，利用整体思想先因式分解，再进行整式运算。两种思路过程如下，最终计算结果是(-6a - 3)。若题目变为将这个整式进行因式分解，该如何解决呢？通常对于整式降幂排列后，若结果的每个多项式首项为负，就提出负号。这里只需将第二种方法最后一步省略，倒数第二步提取负号即可。今天这节课我们具体复习因式分解。

　　什么是因式分解呢？把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。基本方法有提公因式法、公式法。通过前面的学习，我们将(a(b + c + d))进行整式乘法运算，得到(ab + ac + ad)。反之，将(ab + ac + ad)进行因式分解，得到(a(b + c + d))，这里体现的就是提公因式法。同样，将((a + b)(a - b))进行整式乘法运算，得到(a^2 - b^2)，反之将(a^2 - b^2)进行因式分解，得到((a + b)(a - b))。对于((a \pm b)^2)进行整式乘法，得到(a^2 \pm 2ab + b^2)，反之将(a^2 \pm 2ab + b^2)进行因式分解，得到((a \pm b)^2)。

　　因式分解的一般步骤是，首先观察多项式是否有公因式。如果有，就提出公因式，然后观察剩余项；如果没有公因式，就直接观察多项式。观察多项式是几项，如果是两项，且这两项需考虑整体思想，并且符号相反，就考虑使用平方差公式；如果是三项，就考虑使用完全平方公式。

　　注意点：一、公因式要找准，找全，能提取公因式的要先提取公因式，特别是有数字因式的更不要忽略；二、因式分解一定要分解到每个因式都不能再分解为止；三、结果最后只留下小括号，相同因式的乘积写成幂的形式，若有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。

　　梳理完知识点，我们一起来看例题。同学们可以按下暂停键先思考。

　　师：好，我们一起来看例一。第一小问(3x^2 - 9x)，这是一个二次二项式，(3x^2)和(-9x)这两项，它们的最大公因数是(3x)。我们提取出公因式(3x)，剩余项是(x - 3)，(x - 3)不能够再因式分解。因此(3x^2 - 9x)因式分解的结果是(3x(x - 3))。

　　第二小题，我们观察这是三项式，首项(-8a^2b^2)符号为负，所以提出负号。这里最大公因式是(-2ab)，提取出最大公因式后，剩余项(4ab + 2a - 1)，无法套用公式，不能够再因式分解。因此第二小问的因式分解结果就是(-2ab(4ab + 2a - 1))。

　　第三小问，我们观察到(a - 2)和(2 - a)，它们的值互为相反数，所以这里我们将(a - 2)看成是一个整体。将(2 - a)先整理成(-(a - 2))，提取出最大公因数(m(a - 2))，剩余项是(m^2 - 1)。(m^2 - 1)可以继续套用平方差公式，最终因式分解的结果是(m(a - 2)(m + 1)(m - 1))。

　　同学们可以按下暂停键先思考例 2。

　　师：好，我们一起看例 2。第一小问(16x^4 - 1)，这里我们可以将(16x^4)看成是((4x^2)^2)，然后套用平方差公式得到((4x^2 + 1)(4x^2 - 1))。这里(4x^2 - 1)还可以继续套用平方差公式，最终因式分解的结果是((4x^2 + 1)(2x + 1)(2x - 1))。

　　第二小问，这里我们可以将(x - y)看成是一个整体，套用完全平方公式。要注意结果只留下小括号，因此最终因式分解的结果是((3y - 3x + 4)^2)。

　　第三小问，这里我们需要先进行整式乘法得到(x^2 - 3x - x + 3 + 1)，然后进行合并同类项，得到(x^2 - 4x + 4)。这里我们可以套用完全平方公式得到((x - 2)^2)。

　　例三，先化简再求值。同学们可以按下暂停键，自己先思考。

　　师：好，我们一起分析这题。这道题目我们可以从两个方向解决。一、我们可以通过整式乘法，借助完全平方公式将这个多项式展开计算，得到(4a^2 + 2)；第二种思路，我们可以借助完全平方公式将(2a + 1)看成是一个整体，将(3)拆成(1 + 2)，对前三项进行因式分解。最终计算所得的结果也是(4a^2 + 2)。然后我们再代入(a)的值，(a = \sqrt{2})，代入求值的结果是(4a^2 + 2 = 4×2 + 2 = 10)。

　　当堂练习第一题，我们一起来看一下分解因式(2a(b + c) - 3(b + c))，它的结果是？

　　生：我们观察它有公因式(b + c)，所以提出公因式(b + c)，最后结果是((2a - 3)(b + c))。

　　师：第二题，同学们可以按下暂停键，自己在练习本上完成。

　　师：好，我们一起来看一下这三题。第一问，我们可以将(25(m + n)^2)看成是([5(m + n)]^2)，(4(m - n)^2)看成是([2(m - n)]^2)，然后借助平方差公式，注意我们最后结果只保留小括号。因此因式分解的结果是((7m + 3n)(3m + 7n))。