师：今天我们学习的课题是1.52次根式。从这个问题说起，根号15与根号17哪一个更接近4呢？同学们可能想到先平方，根号15的平方等于15，根号17的平方等于17，4的平方等于16 ，所以根号15的平方小于4的平方小于根号17的平方。但这并不能解决根号15和根号17哪一个更接近4的问题。

　　那怎么办呢？也许有同学会提出做差，比较4减根号15和根号17 - 4 ，可这两个又怎么比较呢？还有同学可能提出继续平方试一试。4减根号15的平方等于（4 - 根号15）2 = 31 - 8倍的根号15 ，根号17减4的平方等于（根号17 - 4）2 = 33 - 8倍的根号17 。但又该怎么比较31 - 8倍根号15和33 - 8倍根号17的大小呢？这似乎又成了难题。

　　在解决这个问题之前，我们先来复习一下本章的知识框架。本章先介绍了二次根式的有关概念，接着研究了二次根式的性质，还有二次根式的运算。

　　与二次根式有关概念相关的有：二次根式有意义的条件、最简二次根式、同类二次根式。从二次根式的性质出发，我们实现了二次根式的化简以及计算。提到运算，就会想到乘除、加减和混合运算。

　　形如根号a（a≥0）的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数。二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，即a≥0 。根号a（a≥0）是a的算术平方根，所以根号a≥0 。

　　来看例子，使式子根号（2X - 1）有意义的x的取值范围是？根据定义，被开方数要大于等于0，即2X - 1≥0 ，解得x≥1/2 。再看，使式子x分之根号（x + 1）有意义的x的取值范围是？要使这个式子有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0。所以要同时满足分母x≠0，且分子上二次根式的被开方数x + 1≥0 ，解得x≥ - 1且x≠0 。

　　再看这个问题，自习课上小明看见同桌小丽在练习本上写的题目是求二次根式根号下（a - 3）分之根号a中实数a的取值范围。小明说小丽抄错了，应该是根号下（a - 3）分之a 。小丽说反正a和a - 3都在根号内，不影响结果。小丽说的对吗？

　　如果按照根号下（a - 3）分之a来计算，被开方数要大于或等于0 ，得到a≥0且a - 3＞0，或者a≤0且a - 3＜0 ，解得a＞3或者a≤0 。如果按照根号下（a - 3）分之根号a计算，被开方数a≥0且a - 3＞0 ，解得a＞3 。所以两种计算方式得到的结果不一样。

　　接下来看二次根式的相关概念。最简二次根式必须同时满足三个条件：一、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；二、被开方数不含分母；三、分母中不含有根号。同类二次根式是指经过化简后被开方数相同的二次根式。

　　再看二次根式的性质。性质一：根号a的平方等于a（a≥0），用文字语言描述就是：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数本身。为什么要强调非负数呢？因为根号a中，a作为被开方数要满足a≥0 。

　　性质二：根号下a的平方等于绝对值a，即a（a≥0）或 - a（a＜0）。这里被开方数是a的平方，a的平方一定是非负数，所以a的取值范围是一切实数。它表示a的平方的算术平方根，结果一定是非负的。当a≥0时，结果是a本身；当a＜0时，结果是a的相反数。用文字语言描述就是：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

　　来看例题化简式子：

　　根号50 ，因为50 = 25×2 ，所以根号50 = 根号25×根号2 = 5倍根号2 。

　　根号1/3 = 根号下（3×1/3×3） = 三分之根号3 。

　　根号下（a×b2 + b3），把b2提出来得根号下b2×（a + b） = 根号b2×根号下（a + b），因为b≥0 ，所以根号b2 = b ，结果就是b倍的根号下（a + b）。

　　再看，实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简根号下a的平方 - 根号下b的平方 - 根号下（a - b）的平方。从数轴上可知a＜0 ，b＞0 ，所以根号下a的平方 = 绝对值a = - a ，根号下b的平方 = 绝对值b = b ，又因为a＜b ，a - b＜0 ，所以根号下（a - b）的平方 = 绝对值（a - b） = b - a ，化简结果就是 - a - b - （b - a） = - 2b 。