师：同学们好，今天我们学习的课题是 1.4 分式。先从这样一个问题说起，甲乙两个家庭同去一家粮油店购买大米。两次大米售价有变化，两个家庭购买方式不同。甲家庭每次总是买 20 千克大米，乙家庭每次用 20 元，商店按价计算卖给乙家庭。设前后两次米价分别是每千克 m 元和 n 元，m＞0，n＞0，且 m≠n 。请问谁的购买方式更合算呢？相信同学们会想到计算它们的平均单价。平均单价就是用购买大米的总费用除以总数量。这样我们得到甲的平均单价为每千克((20m + 20n)÷40 = \frac{m + n}{2})元。乙的平均单价为每千克(40÷(\frac{20}{m} + \frac{20}{n}) = \frac{2mn}{m + n})元。

　　这两个式子有什么差异呢？大家一定看出来了，(\frac{m + n}{2})是整式，而(\frac{2mn}{m + n})是分式。那我们怎样比较它们的大小呢？让我们先复习这一章内容，最后再来解决这个问题。

　　先看这章的知识框架，在这章中，首先研究了分式的有关概念，接着是分式的基本性质，最后是分式的运算。与分式有关概念相关的有分式有意义的条件、最简分式、最简公分母。分式的基本性质可延伸到分式的约分和通分。提到运算，就有乘除、乘方、加减和混合运算。

　　我们先来看分式的有关概念。看定义，如果用 a、b 表示两个整式，那么 a 除以 b 可以表示为(\frac{a}{b})的形式。如果 b 中含有字母，那么称(\frac{a}{b})为分式，其中 a 称为分式的分子，b 称为分式的分母。当然，b≠0 时，分式有意义；b = 0 时，分式无意义。分式的值要想为 0，首先分式要有意义，所以必须满足分子为 0 且分母不为 0，即 a = 0，且 b≠0。

　　我们来看例子，当 a 在什么范围内时，分式(\frac{1}{x - 2})无意义？显然，当分式的分母为 0 时，分式无意义，即 x - 2 = 0，x = 2 时，分式无意义。

　　再看，已知分式(\frac{x^{2} - 4}{x + 2})，当 x 在什么范围内时，分式有意义呢？显然分母不为 0 时，即 x + 2≠0，所以 x≠ - 2 分式就有意义。当 x 在什么范围内时，分式的值为 0 呢？这时不仅要考虑分母，还要考虑分子，即分子为 0 且分母不为 0，所以(x^{2} - 4 = 0)，且 x + 2≠0，解得 x = 2 时，分式的值为 0。

　　我们再来看看分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。用符号语言表达为(\frac{a}{b} = \frac{a×c}{b×c})，(\frac{a}{b} = \frac{a÷c}{b÷c})（其中 c 是不等于 0 的整式）。

　　我们来看约分，就是把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式。约分的结果是最简分式或者整式。那么什么是最简分式呢？就是分子与分母中不含公因式的分式。比如化简(\frac{a^{2}bc}{abd})，分子和分母都含有 ab，约去后最终结果是(\frac{ac}{d})。

　　我们再来看看分式运算中的乘除。分式乘分式，用分子的积做积的分子，用分母的积做积的分母。分式除以分式，就是把除式的分子和分母颠倒位置后与被除数相乘。用符号表达为(\frac{b}{a}×\frac{d}{c} = \frac{bd}{ac})，(\frac{b}{a}÷\frac{d}{c} = \frac{b}{a}×\frac{c}{d} = \frac{bc}{ad})。而分式的乘方就是把分子和分母各自乘方，即((\frac{b}{a})^{n} = \frac{b^{n}}{a^{n}})（其中 n 为整数）。

　　让我们来进行一组计算巩固。

　　第一题，(\frac{3b}{a}×\frac{a^{2}}{9b^{2}})，大家想到约分，结果是(\frac{a}{3b})。

　　第二题，(\frac{x^{2} - xy}{x^{2} + 2xy + y^{2}}÷\frac{x - y}{x + y})。遇到这样的多项式，我们先进行因式分解，为约分做准备。分母变为((x + y)^{2})，分子变为(x(x - y))，原式变为(\frac{x(x - y)}{(x + y)^{2}}÷\frac{x - y}{x + y} = \frac{x(x - y)}{(x + y)^{2}}×\frac{x + y}{x - y})，约分后结果是(\frac{x}{x + y})，大家做对了吗？

　　好，我们再来看分式运算中的加减。分式的加减法则，(\frac{b}{a} ± \frac{c}{a} = \frac{b ± c}{a})，(\frac{b}{a} ± \frac{c}{d})，首先要通分，就等于(\frac{bd}{ad} ± \frac{ac}{ad})，最终结果是(\frac{bd ± ac}{ad})。

　　通分与最简公分母。把几个异分母的分式化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，通分的依据就是分式的基本性质。通分的关键是确定最简公分母。分式还有混合运算，一般先算乘方，后算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。