师：今天上课的题目是 2.1 一次方程组。来看例一，解方程$3X + \frac{x - 1}{2} = 3 - \frac{2x - 1}{3}$。这是一个含有未知数$x$，且未知数最高项次数是一的方程，我们称为一元一次方程。解一元一次方程的基本步骤如下：

　　第一步去分母，两边同乘方程里各个分母的最小公倍数，此题为$2$和$3$的最小公倍数$6$。特别要注意，去分母依据是两边同乘，所以不含分母的项$3X$以及右边的$3$都要乘以$6$，得到$18X + 3(x - 1) = 18 - 2(2X - 1)$。

　　第二步去括号，根据去括号法则，得$18X + 3X - 3 = 18 - 4X + 2$。

　　第三步移项，把方程里同类项移到方程一侧，$18X + 3X + 4X = 18 + 3 + 2$。

　　第四步合并同类项，根据合并同类项法则，系数相加字母和字母的指数不变，得$25X = 23$。

　　第五步系数化为一，两边同除以$X$的系数$25$，得到$X = \frac{23}{25}$，这就是方程的解。

　　总结一下，一元一次方程的解法一般分为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一这五个步骤，依据是等式的性质以及运算类的法则，最后把方程转化为$X = a$这种一元一次方程解的形式。

　　来看例二，解方程组$\begin{cases}x + 3Y = 5 \ 3X + Y = -1\end{cases}$。这是含有两个未知数$x$、$y$，且未知数指数都是一的方程组，我们称为二元一次方程组。

　　解法一，把第一个方程变形为$x = 5 - 3y$，这一步也叫用$y$的代数式表示$x$。再把这个式子代入到下一个方程$3X + Y = - 1$中，用$5 - 3y$代替$x$，这样二元一次方程就消去了$x$，只剩下含有$y$的一元一次方程。将没学过的二元一次方程组问题转化为学过的一元一次方程问题，解这个一元一次方程得$y = 2$，再把$y = 2$代回第一个方程，可得到$x$的值。

　　这里要注意，二元一次方程组的解是要同时解出两个未知数，一对$x$和$y$的值称为二元一次方程组的一个解。

　　再看另一种解法，根据方程里$x$系数的特点，把第一个方程两边同乘以$3$，这样和第二个方程里$x$的系数就都变为$3$。再把这两个方程相减，$3X - 3X = 0$，就消去了未知数$x$，$9y - y = 8y$，右边$15 - (-1) = 16$，得到$8y = 16$这个一元一次方程。

　　这种方法是把两个方程里同一个未知数的系数转化为相同或互为相反数的形式。若相同，两方程相减该未知数系数就变为$0$；若互为相反数，两方程相加该未知数系数就变为$0$，从而达到消去一个未知数的目的，把二元转化为一元，接着解出$y$的值，再代回第一个方程求得$x$的值，完整求出方程组的解。这种方法称为加减消元法。两个系数互为相反数时相加，系数相同时相减，达到消元目的。

　　总结一下，二元一次方程组的解题思路就是消元，通过代入或者加减把二元一次方程组转化为一元一次方程求解。同样，三元一次方程组的解题思路也是通过消元把三元转化为二元，再把二元转化为一元来求解。根据方程系数特定特征，还可以采取灵活办法求解。

　　把第一个方程和第二个方程直接相加，得到$4X + 4Y = 4$，化简为$x + y = 1$。这个解题过程在很多填空题直接问$x + y$等于多少时，同学们可不需求出$x$、$y$，采取整体求和的办法，用一式加二式直接得到$x + y = 1$。同样，两式相减，根据系数特点，用方程二减方程一得到$2X - 2Y = -6$，化简为$x - y = - 3$，这是整体求差的办法。再把这两个方程相加，得到$x = -1$，相减得到$2Y = 4$，$y = 2$。同学们熟练掌握代入或加减消元法后，可以灵活选择适合题目的方法。

　　来看例三，一辆汽车从甲地驶往乙地，前$\frac{1}{3}$路段为普通公路，其余路段为高速公路。在普通公路上行驶速度为$60$千米每小时，在高速公路上行驶速度为$100$千米每小时，汽车从甲地到乙地一共行驶了$2.2$小时。根据以上信息，就该汽车行驶的路程或时间提出一个用方程组或方程解决的问题，并写出解答过程。

　　这个题目审题后要梳理题目中的等量关系，$\frac{1}{3}$段为普通公路，$\frac{2}{3}$段为高速公路，所以普通公路的两倍等于高速公路的路程，普通公路行驶时间加高速公路行驶时间等于$2.2$小时。行程问题一般涉及速度、时间、路程三个量，已知速度分别是$60$和$100$，在时间和路程中设一个为未知数，另一个就可用未知数的代数式表示，也常用线段示意图来表示数量关系，使题目中的数量关系更直观清晰。

　　下面提出问题，求甲地到乙地的路程。

　　解法一，设普通公路行驶时间为$x$小时，根据总时间为$2.2$小时，可表示高速公路行驶时间为$2.2 - x$小时。在表格中用时间乘以速度表示出两段路程，根据路程之间的两倍关系列出一元一次方程$2×60x = 100(2.2 - x)$，解这个方程得$x = 1$。那么普通公路路程为$60×1$千米，高速公路路程为$100×(2.2 - 1)$千米，总路程为$60×1 + 100×(2.2 - 1) = 180$千米。