师：同学们好，今天我们学习的课题是 2.3 一元二次方程。先来看这道例题，解下列方程，请同学们先自行尝试解这两个方程，然后思考采用了什么方法。

　　对于第一个方程，我们可以用配方法。第一步移项，得到$x^2 - 6x = 7$。接着配方，两边同时加上$3^2$，然后化简，得到$(x - 3)^2 = 16$。再用直接开平方的方法，得到$x - 3 = ±4$，这样就得到两个一元一次方程：$x - 3 = 4$或$x - 3 = -4$，进而解得方程的根为$x_1 = 7$，$x_2 = -1$，这就是配方法。当然，我们也能用公式法，公式法是通法。运用公式法时，要先把方程转化为一般形式，第一个方程已是一般形式，可直接操作。

　　第一步写出方程的$a$、$b$、$c$，$a = 1$，$b = -6$，$c = -7$。然后计算$b^2 - 4ac$，$(-6)^2 - 4×1×(-7) = 64$。因为$b^2 - 4ac > 0$，这里$b^2 - 4ac$是方程根的判别式，当$b^2 - 4ac > 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$b^2 - 4ac < 0$时，方程没有实数根，所以不用解方程就能判断根的情况。

　　接下来继续操作，套用公式$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，代入数据解得方程的两根为$x_1 = 7$，$x_2 = -1$，这就是公式法。细心的同学可能发现，此方程还能用十字相乘法。用十字相乘法时，要对方程的二次项系数和常数项进行拆分。此方程二次项系数为$1$，可拆成$1×1$，常数项为$-7$，根据一次项系数是$-6$，可将$-7$拆成$-7×1$，然后十字相乘，$1×1 + 1×(-7) = -6$，刚好等于一次项系数，这样的拆分成功。

　　所以原方程可化简为$(x - 7)(x + 1) = 0$，进而得到两个一元一次方程$x - 7 = 0$或$x + 1 = 0$，解得方程的两根为$x_1 = 7$，$x_2 = -1$，这就是十字相乘法，相对来说，十字相乘法更简便。解完方程后，有的同学可能担心解对没，这时可用一元二次方程根与系数的关系来检验。一元二次方程根与系数的关系如下：记方程的两个根为$x_1$和$x_2$，那么两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，两根之积$x_1×x_2 = \frac{c}{a}$。下面利用此关系检验，此方程中$x_1 + x_2 = 7 + (-1) = 6$，刚好等于$-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1×x_2 = -7$，也等于$\frac{c}{a}$，所以方程的解正确。

　　接下来看第二个方程。此方程当然也能用上述方法，但要注意它有特点，可转化成$3x(x - 1) = 2(1 - x)$。发现方程两边有公因式，所以可用因式分解法。继续化简，得到$3x(x - 1) = -2(x - 1)$，然后移项，得到$3x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$，提取公因式$(x - 1)$，得到$(3x + 2)(x - 1) = 0$。这样就把原方程转化为两个一元一次方程$3x + 2 = 0$或$x - 1 = 0$，解得方程的两个根为$x_1 = -\frac{2}{3}$，$x_2 = 1$，这就是因式分解法。

　　一元二次方程有多种解法，各种解法在什么情况下适用呢？配方法，当方程二次项系数为$1$，一次项系数为偶数时，用配方法比较简便。公式法是通法，只要熟练运用公式就行。十字相乘法是特殊的因式分解法，当能把方程转化为一边为$0$，另一边为两个一次因式的乘积时，用这两种方法比较方便。所以针对不同方程的特点，采用不同解法，能简化计算。接下来思考，解方程过程中运用了什么思想？配方法把一元二次方程转化成两个一元一次方程，公式法由配方法得到，十字相乘法和因式分解法也把一元二次方程转化成两个一元一次方程，所以运用的主要思想是通过降次，把二次方程转化为一次方程，将复杂问题转化为简单问题。不仅要会解方程，还要了解运用的思想方法。

　　接下来看例题 2。对于二次三项式$x^2 - 10x + 36$，小明同学说无论$x$取什么实数，它的值都不可能等于$10$，大家同意他的说法吗？先自己思考。

　　我们可以这样分析，对于这个二次三项式，若$x^2 - 10x + 36 = 10$，就把问题转化成解一元二次方程，只需判断方程有无解。所以这样做，解：若$x^2 - 10x + 36 = 10$，原方程变形为$x^2 - 10x + 26 = 0$，只需判断该方程是否有解就能解决问题。用什么判断方程解的情况呢？借助一元二次方程根的判别式$b^2 - 4ac$。此方程中$a = 1$，$b = -10$，$c = 26$，计算可得$b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4×1×26 = -4 < 0$，由$b^2 - 4ac < 0$可知原方程没有实数根，也就是无论$x$取什么实数，它的值都不可能等于$10$，所以同意小明的说法。

　　当然，有同学从不同角度看，从函数角度解决。令$y = x^2 - 10x + 36$，把问题转化成函数问题。通过配方得到$y = x^2 - 10x + 36 = (x - 5)^2 + 11$。根据二次函数性质，当$x = 5$时，$y$有最小值$11$，$y$最小值是$11$，不可能再取到$10$，所以无论$x$取什么实数，它的值都不可能等于$10$，同样同意小明的说法。解决这个问题，从不同角度看就有不同解法。接下来看例题 3。

　　某地为解决市民看病贵的问题，下调药品价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒$200$元下调至$128$元，求这种药品平均每次降价的百分率。同学们先思考。

　　一起来分析，药品原价每盒$200$元，经过两次降价到$128$元，目标求平均每次降价的百分率。设这种药品平均每次降价的百分率为$x$。思路如下，药品原价$200$元，第一次降价百分率为$x$，第一次降价后价格为$200(1 - x)$，在此基础上第二次降价，百分率也为$x$，则第二次降价后价格为$200(1 - x)(1 - x) = 200(1 - x)^2$。根据题意列出方程$200(1 - x)^2 = 128$。解方程时，先两边同时除以$200$，再用直接开平方的方法求解，得$x_1 = 0.2$，$x_2 = 1.8$，$1.8$不符合题意舍去，所以这种药品平均每次降价的百分率为$20%$。

　　总结规律，变化一次的规律为$a(1 ± x)$，加代表上升，减代表下降。这里$a$代表变化前的基数，$x$代表变化的百分率。结合本题，第一次降价时，变化基数$a$为$200$，变化百分率为$x$，所以第一次降价后价格为$200(1 - x)$。第二次降价时，变化前基数$a$为$200(1 - x)$，变化百分率为$x$，所以第二次降价后价格为$200(1 - x)^2$。掌握这个规律，很多类似问题都能解决。

　　接下来看例 4。某地计划扩建改造矩形广场，原广场长$50$米，宽$40$米，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为$3 : 2$。扩充区域扩建费用每平方米$30$元，扩建后原广场和扩充区域都铺设地砖，费用每平方米$100$元，计划总费用为$642000$元，求扩充后广场的长和宽。同学们先尝试解。

　　一起来分析，已知原广场长$50$米，宽$40$米，在图中标出数据。找题目中的数量关系，一是长与宽的比是$3 : 2$，二是总费用为$642000$元。总费用由地砖费用和扩建费用组成，地砖费用是总面积乘以$100$（每平方米地砖费用），扩建费用是扩建区域面积乘以$30$（每平方米扩建费用），两者相加等于$642000$元。关键是求总面积和扩建区域面积，利用长与宽的比为$3 : 2$设未知数，设扩充后广场的长为$3x$米，宽为$2x$米，标注在图中。总面积表示为$3x×2x$，扩建区域面积为$3x×2x - 40×50$。所以列出方程，然后解方程。

　　解得$x_1 = 30$，$x_2 = -30$，$x_2 = -30$不符合题意舍去。把$x$代入设的未知数中，$3x = 90$，$2x = 60$。所以扩充后广场的长为$90$米，宽为$60$米。解决这类问题，关键是找到数量关系，通常一个关系设未知数，另一个关系列方程。还有很多问题涉及一元二次方程应用，像销售问题、握手送礼物问题、传染病问题等等，同学们课后可自行探究。

　　接下来进行课堂小结。从实际问题出发，设未知数列方程得到一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a ≠ 0$），然后解方程，方法有配方法、公式法和因式分解法，公式法由配方法得到，这三种方法都运用了降次思想。得到方程根后，结合实际问题检验得到实际问题的答案，从而解决实际问题。这样就把本节课知识串联起来了。今天的课就上到这里，同学们再见。