师：我们今天学习的课题是 2.4 不等式。来看例一，解不等式$\frac{x}{3} - \frac{x - 1}{2} \leq 1$。解不等式的步骤可参照前几节课复习的一元一次方程解法。先回顾解方程的基本步骤：去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为一，每步的注意点之前老师已分析过，不再赘述。下面用相同步骤解不等式。

　　第一步去分母，不等式两边同时乘以 6，得$2x - 3(x - 1) \leq 6$。这一步应用了不等式的性质，要注意$\frac{x - 1}{2}$乘以 6 时，$x - 1$作为整体需打括号，右边的 1 也要乘以 6，不能漏乘。

　　第二步去括号，$-3$用分配律乘进去，要乘到每一项，得$2x - 3x + 3 \leq 6$。

　　第三步移项，把含$x$的项放在不等式一边，常数项放在另一边，得到把 3 移过去。

　　第四步合并同类项，得$-x \leq 3$。

　　最后一步系数化为一，在不等式两边同时除以$-1$，得$x \geq -3$。

　　下面对比解一元一次方程和解一元一次不等式的相同点和不同点。解方程和解不等式都是把原来的方程或不等式经过变形后变为$x = a$或者$x \gt$（或$\lt$）$a$的形式，都体现了划归思想。不同点在于解方程应用等式的性质，方程两边同时乘或除以同一个非 0 的数，等号仍然成立；而不等式两边同时乘或除时要分开讨论，两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；两边同时乘或除以一个负数，不等号方向要改变。

　　下面看看解不等式的一般步骤及每步依据。去分母是应用不等式的性质；去括号法则本质是乘法分配律；移项应用不等式的性质；合并同类项依据合并同类项法则，本质也是乘法分配律；系数化为一应用不等式的性质，强调两边同时乘或除以一个数时，要注意不等号方向是否改变。

　　来看例 2，解不等式组$\begin{cases}3(x + 1) \gt 4x + 2 & (1)\\frac{x}{2} \geq \frac{x - 1}{3} & (2)\end{cases}$。解不等式组就是求出各个不等式解集的公共部分。解不等式$(1)$得$x \lt 1$，解不等式$(2)$得$x \geq -2$。把两个不等式的解集用数轴表示出来，$x \lt 1$用空心点表示，在 1 的左边；$x \geq -2$用实心点表示，在 -2 的右边包含 -2。由数轴可直观看出原不等式组两个不等式解集的公共部分在数轴上是 -2 到 1 之间，包含 -2 不包含 1，所以原不等式组的解集为$-2 \leq x \lt 1$。追加一个问题，写出不等式组的整数解。根据求得的解集，$x$是大于等于 -2 小于 1 区域里的数，这个区域里的整数是 -2、 -1、0。从此题可看出，数轴在解不等式组中能起到重要作用。

　　再看不等式组的 4 种情况：

　　$x \gt a$，$x \lt b$，由数轴可得解为$a \lt x \lt b$。

　　$x \gt a$，$x \gt b$，解集为$x \gt b$。

　　$x \lt a$，$x \lt b$，解集为$x \lt a$。

　　$x \lt a$，$x \gt b$，没有公共部分，解集记为无解。通过数轴可直观认识各个解集的公共部分，从而用数轴表示不等式组的解集。

　　来看例 3，小明用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件，每本笔记本 2 元，每支钢笔 5 元，小明最多能买多少支钢笔？审题可知题目中有一个相等关系和一个不等关系，相等关系是笔记本和钢笔数量共 30 件，不等关系是钢笔金额与购买笔记本金额不超过 100 元。设小明购买$x$支钢笔，那么购买笔记本的数量是$30 - x$本。购买钢笔金额为$5x$元，购买笔记本金额为$2(30 - x)$元。根据不等关系可得不等式$5x + 2(30 - x) \leq 100$。解这个一元一次不等式，解得$x \leq 13\frac{1}{3}$。考虑实际意义，钢笔数量为整数，所以最多能买的钢笔数量是这个不等式的最大整数解 13，故小明最多购买 13 支钢笔。