师：今天我们学习的课题是 3.3 反比例函数。同学们还记得当初我们是如何研究反比例函数的吗？

　　生：当初我们从现实世界中的反比例关系归纳抽象出反比例函数的概念，在此基础上研究了反比例函数的图像和性质，最后进行了实际运用。

　　师：非常好。下面我们一起来解决几个问题。第一，举例说明什么是反比例函数，比如 y 等于 x 分之一，y 等于负 x 分之 3 等等。一般形如 y 等于 x 分之 k（k 为常数，k 不为 0）的函数叫做反比例函数。其中 x 是自变量，y 是 x 的函数。那么自变量 x 的取值范围是什么呢？

　　生：是不为 0 的一切实数。

　　师：对。那如何判断一个函数是否为反比例函数呢？

　　生：只要看这个函数的关系式是否具有 y 等于 x 分之 k、y 等于 kx 的 -1 次方、xy 等于 k 的形式，其中 k 是不为 0 的常数。

　　师：很好。问题二，反比例函数 y 等于 x 分之 k 的图像是什么样的？

　　生：是双曲线。

　　师：请举例说明如何画出反比例函数的图像。下面我们就以反比例函数 y 等于负 x 分之 6 为例来画反比例函数的图像。首先要做什么？

　　生：建立平面直角坐标系。

　　师：没错，接着呢？

　　生：列表取 x、y 对应的值，以 x 的值为横坐标，与之相应的 y 的值为纵坐标连线。

　　师：这样我们就将反比例函数 y 等于负 x 分之 6 的图像画出来了。我们再看这个动画，不难看出双曲线的形状和位置随着 k 的变化而变化。那么怎样根据反比例函数的图像研究函数的性质呢？请同学们思考。

　　生：可以从图像的形状、位置、增减性以及 k 的几何意义等方面来研究函数的性质。

　　师：具体说一说呢？

　　生：反比例函数的图像形状是双曲线，当 k 大于 0 时，双曲线的两个分支在第一、三象限；当 k 小于 0 时，两个分支分别在第二、四象限。当 k 大于 0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k 小于 0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。双曲线上既是轴对称图形，对称轴是直线 y 等于正负 x，同时也是中心对称图形，对称中心是原点。k 的几何意义是从双曲线上任意一点向两条坐标轴画垂线，两条垂线与两轴围成的矩形的面积就等于 k 的绝对值。其他的几个图形的变形，它们的面积也是等于 k 的绝对值。这四幅图形的面积是等于二分之一 k 的绝对值，这 4 个图形的面积是等于两倍 k 的绝对值。

　　师：非常棒。问题三，与正比例函数、一次函数、二次函数的图像相比，反比例函数特殊在哪里呢？

　　生：反比例函数的图像特殊在它是不连贯的，是两条曲线。

　　师：为什么会有这种特殊性呢？

　　生：因为自变量 x 的取值是不为 0 的一切实数，所以图像与 x 轴、y 轴都没有交点。

　　师：对。问题四，生活中有许多反比例函数的实际问题，请举例说明如何利用数形结合思想解决问题。码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间 w 分与装载速度 x 吨每分之间的函数关系如图一，这批货物的质量是多少？写出 y 与 x 之间的函数表达式。轮船到达目的地后开始卸货，如果以 5 吨每分的速度卸货，那么需要多少时间能卸完货物呢？我们一起来解答一下。

　　生：第一问，由图像可知，质量为 1.5×400 = 600 吨。由第一问得很容易得到 y 与 x 的函数关系式为 y 等于 x 分之 600。第三问，过 x 轴上表示 5 的点做垂线交图像于点 a，再由点 a 向 y 轴作垂线，垂足表示的数是 120，则需要 120 分钟卸完货物。

　　师：下面我们一起来看几个例题。例一，已知反比例函数 y 等于 x 分之 k 的图像经过点 A（ - 4，1），求 k 的值。

　　生：k 等于 - 4×1 = - 8。

　　师：第二问，这个函数的图像在哪几个象限？y 随 x 的增大怎样变化呢？

　　生：因为 k 等于 - 8，小于 0，所以图像在第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 增大而增大。

　　师：追问，如果点 D、E、F 也在这个函数的图像上，那么 Y1、Y2、Y3 的大小该如何比较呢？

　　生：我们可以利用图像法，因为知道了横坐标，在坐标系内将 D、E、F 三个点做出来，就很清晰地看出 Y2 大于 Y1 大于 Y3。也可以利用增减性来完成。因为 - 3 小于 - 1 小于 0，所以点 D、E 都在第二象限，所以 0 小于 Y1 小于 Y2。又因为 2 大于 0，所以点 F 在第四象限，Y3 小于 0，所以 Y3 小于 Y1 小于 Y2。