师：同学们，今天我们学习的课题是 3.4 二次函数（一）。请看问题，如图，二次函数(y = ax^2 + bx + c)图像的对称轴是直线(x = 1)，且经过点((3,0))，大家能从中获得哪些信息？

　　生：函数图像开口向下，结合对称轴可知，当(x < 1)时，(y)随(x)的增大而增大；当(x > 1)时，(y)随(x)的增大而减小。所以(x = 1)时，(y)取最大值。由对称轴与(x)轴的一个交点((3,0))，能得出函数图像与(x)轴的另外一个交点是(( - 1,0))。

　　师：非常好。以上函数图像的开口方向、对称性、顶点、增减性、函数最值等，是我们研究二次函数图像与性质的一般路径。继续观察，由图像与(x)轴的两个交点，大家还能想到什么？

　　生：可知对应的一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)的根是(-1)和(3)。在函数中，令(y = 0)，就得到对应的方程，函数图像与(x)轴公共点的横坐标是对应的方程的根，函数图像与(x)轴公共点的个数，对应方程根的个数。而一元二次方程根的个数是通过判别式(b^2 - 4ac)的符号判断的。

　　师：没错。再看图像，当(-1 < x < 3)时，对应的函数图像位于(x)轴上方，那不等式(ax^2 + bx + c > 0)的解集是什么呢？

　　生：不等式(ax^2 + bx + c > 0)的解集是(-1 < x < 3)。同理，不等式(ax^2 + bx + c < 0)的解集是(x < - 1)或(x > 3)。

　　师：很好。综上，函数图像上的点对应方程的解，一段图像对应不等式的解集，由此可见函数与方程、不等式有着紧密的联系。观察图像，大家还能得到系数(a)、(b)、(c)之间有哪些关系？

　　生：首先，(a < 0)。因为图像与(x)轴有两个不同的交点，所以对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(-1)和(3)。代入方程可得(a - b + c = 0)。根的判别式(b^2 - 4ac > 0)。由对称轴为直线(x = 1)，可得(-\frac{b}{2a} = 1)，即(b = - 2a)，(b > 0)。因为(x = - 2)时，对应图像上的点在(x)轴下方，所以函数值(4a - 2b + c < 0)。

　　师：总结得很全面。二次函数(y = ax^2 + bx + c)，系数与图像间的联系有：(a)决定图像的开口方向；(a)、(b)决定对称轴直线(x = -\frac{b}{2a})的位置，(a)、(b)同号时，对称轴在(y)轴左侧；(a)、(b)异号时，对称轴在(y)轴右侧；(b = 0)时，对称轴恰好是(y)轴。在函数式中，当(x = 0)时，(y = c)，(c)的大小决定图像与(y)轴交点的位置，特殊时，当(c = 0)时，函数图像经过原点。(b^2 - 4ac)的符号决定图像与(x)轴公共点的个数，以及根据已知点的坐标、特殊点的位置，用赋值法得出关于(a)、(b)、(c)的代数式的值的符号以及取值范围。这些都体现了数对形的影响，形与数的一致性。在这个问题中，大家能确定这个二次函数的表达式吗？

　　生：二次函数的表达式有一般式、顶点式、交点式，用待定系数法求二次函数的表达式，这里若用一般式，缺少一个已知点；用顶点式，缺少顶点的纵坐标；用交点式也缺少一个已知点。因为待定系数法求函数表达式是利用已知数对即图像上已知点的坐标建立关于系数的方程或方程组，有几个系数就需要几个已知点。如反比例函数需要一个已知点，一次函数需要两个，而不共线的三个点确定一个二次函数。

　　师：没错。刚才我们从形的角度复习了二次函数，下面我们结合表格继续研究二次函数。已知二次函数的函数值与自变量(x)的部分对应值如下表，观察表格大家能得出哪些结论？

　　生：从表格中的数的特性出发，首先点((0,3))和点((2,3))，它们横坐标不等，纵坐标相等，是函数图像上的一对对称点。由此得出函数图像的对称轴是直线(x = 1)。再看表格，点((1,4))的横坐标恰好为(1)，所以它是函数图像的顶点。在表格中分别观察(x)、(y)的变化规律，可以发现，当(x < 1)时，(y)随(x)的增大而增大；当(x > 1)时，(y)随(x)的增大而减小。结合对称性可以得出(x = - 1)时的函数值(n)等于(x)取(3)时的函数值，即(n = 0)。

　　师：很棒。那大家能通过观察表格确定(m)的值吗？

　　生：由于表格呈现数字的有限性，不能直接观察出(m)的值，但可以通过确定函数的表达式，再将(x = - 2)代入求出(m)的值。

　　师：对。由表格知，函数图像的顶点是((1,4))，设二次函数的表达式为顶点式，再从表格中选择一对数代入，如选择(x = 0)，(y = 3)，即函数图像经过点((0,3))代入得到方程，解得(a = - 1)，求得二次函数的表达式。当(x = - 2)时，(y = - 5)，即(m = - 5)。我们也可以设交点式或直接用一般式求二次函数的表达式，用待定系数法求已知类型的函数表达式，一般有设、列、解、答几个步骤。求二次函数的表达式时，要根据所给条件在一般式、顶点式、交点式中灵活选择，简化运算。综上，我们还可以根据所给的数，分析数的特性找到数的规律，由数到形来分析二次函数。请看例题，已知二次函数(y = (x - m)(x + m + 4))，(m)为常数。求证不论(m)取何值，该二次函数的图像与(x)轴总有公共点。

　　生：根据函数与对应的方程的联系，要证明图像与(x)轴总有公共点，即证明对应的方程总有实数根。令(y = 0)，得到一元二次方程，可将其化为一般式，可以通过证明它的判别式恒为非负来说明方程总有实数根，进而证明问题。

　　师：还有其他方法吗？

　　生：观察方程的结构，根据一元二次方程的因式分解法解方程，可以直接解出方程的两个实数根，(x_1 = m)，(x_2 = - m - 4)。所以不论(m)取何值，这个一元二次方程总有两个实数根，所以该二次函数的图像与(x)轴总有公共点。

　　师：非常好。请大家比较判别式法和直接求根法。在说明问题时，我们要根据函数式、方程的形式特征灵活选择方法，简化问题。第二小问，若函数图像与(y)轴的交点在(x)轴下方，求(m)的取值范围。

　　生：与(y)轴的交点，需令(x = 0)，得(y = - m(m + 4) = - m^2 - 4m)，即得图像与(y)轴交点的坐标。因为交点在(x)轴下方，所以纵坐标(- m^2 - 4m < 0)。这是一个二次不等式，我们没学过它的解法。

　　师：我们已经知道二次函数和一元二次方程、不等式之间的联系。可以构造(z)关于(m)的函数(z = - m^2 - 4m)，再利用函数图像解决相关的不等式问题。请大家画出这个函数图像的示意图，如图，函数图像开口向下，经过原点，求(z < 0)，即图像位于横轴下方时(m)的取值范围。

　　生：观察图像可知，当(- m^2 - 4m < 0)时，(m < - 4)或(m > 0)。

　　师：今天我们主要从二次函数的表达式法、图像法、表格法，数与形相结合，回顾了二次函数的图像与性质，以及它与二次方程、不等式之间的联系。今天的课就上到这里，同学们，再见。