师：今天我们学习的课题是 3.5 二次函数 2。上节课我们复习了二次函数的定义、图像与性质，以及二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系。那么二次函数在数学和生活中又有哪些应用呢？请看问题。已知二次函数(y = Ax2 + Bx)的图像经过点(M(1,n))，点(N(3,n))，你可以得到哪些信息？

　　生：函数图像经过点，则点的坐标满足函数的表达式，将两点坐标代入得到方程组并化简。显然，这里的两个方程含有三个未知数，所以不能解出具体未知数的值。但根据解方程组的转化思想，用消元方法将两式相减，可得(8A + 2B = 0)，即(B = -4A)。根据点的坐标和函数表达式，通过代数运算可以发现(A)、(B)之间的关系。

　　师：还有其他方法吗？我们在坐标系中画出点(M)、(N)，横坐标分别是(1)、(3)，且纵坐标相等都等于(n)。结合二次函数的图像与性质，你有什么发现？你能大致画出这个二次函数的图像吗？

　　生：这里点(M)、(N)是图像上的一组对称点，因为函数的常数项为(0)，所以图像经过原点，大致是这样。注意常数(n)也可能小于(0)，即点(M)、(N)可能在(x)轴下方，函数图像可能开口向上。由对称点(M)、(N)知，函数图像的对称轴是直线(x = 2)，所以(-\frac{B}{2A} = 2)，得(B = -4A)。这里从形出发，通过点的位置结合抛物线的轴对称性也可以得出(A)、(B)之间的关系。

　　师：继续探究，若该函数的图像与(x)轴交于点(A)、(B)，顶点为(C)，三角形(ABC)为直角三角形，求这个二次函数的表达式。首先找出点(A)、(B)、(C)，画出三角形(ABC)。设函数图像的对称轴与(x)轴交于点(M)。观察图形，由抛物线的对称性可得(CA = CB)。因为三角形(ABC)是直角三角形，强化条件得三角形(ABC)为等腰直角三角形，分析得(MC = MA)。转化为线段的长相等，需要用点的坐标解决。请你试一试。

　　生：由前面的分析，(B = - 4A)，代入函数式得(y = Ax2 - 4Ax)，消去了一个待定的系数。为表示(A)、(B)、(C)的坐标，将函数式分别写成交点式、顶点式，得出相应点的坐标(A(0,0))、(B(4,0))、(C(2,-4A))。结合刚才的分析，(MC = MA)，列出关于(A)的方程。

　　师：注意这里将点(C)到(x)轴的距离转化为坐标，需是纵坐标的绝对值，不能漏解。得(A = ±\frac{1}{2})。对应函数图像开口向上和开口向下两种情况，最终求得函数的表达式。在这个图形中，你也可以更换条件来求函数的表达式。如三角形(ABC)为等边三角形，或三角形(ABC)的面积为定值。用相同的方法都可以求出(A)的值，进而确定函数的表达式。在函数与图形的问题中，通过强化图形的条件，如图形的形状、大小，图形间的关系等影响点的位置，进而决定点的坐标，最终确定函数的表达式。

　　师：拱桥的形状是抛物线，让你联想到什么？我们想到二次函数，问题中实际是要求什么量？已知水位的上升速度，求时间，只要求出拱顶与(CD)的高度差，如何刻画这个量呢？二次函数与抛物线需要平面直角坐标系作为载体。首先请你试试在图中建立一个平面直角坐标系。

　　生：坐标系的建立方法多样，例如图一，图 2 以抛物线的对称轴作为(y)轴，图 3 让坐标系的原点与点(C)重合等等。