师：同学们好，今天我们学习的课题是 4.3 三角形。上一节我们复习了三角形的基本概念、画法、基本性质及三角形的全等。本节我们将复习几个特殊的三角形及勾股定理等相关内容，一起来回顾一下新授时是如何学习的。在轴对称部分，我们主要学习了线段、角、等腰三角形等几种特殊的轴对称图形，还学习了勾股定理及勾股定理的逆定理。下面我们一起来解决几个问题。

　　师：什么是线段的垂直平分线？它有什么性质？我们来看一个动画。垂直一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。它的性质是线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。反过来也成立，即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。也就是说，线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。那么什么是三角形的外心？它又有什么性质呢？我们看动画。

　　师：三角形三边垂直平分线的交点叫做三角形的外心。三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，这个圆就是这个三角形的外接圆。

　　师：问题二，角的平分线有什么性质？看动画，角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来也成立，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。综上所述，角的平分线是到角两边距离相等的点的集合。那么什么是三角形的内心？它有什么性质呢？我们看动画。

　　师：三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等，这个圆就是三角形的内切圆。

　　师：问题三，用图描述三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形之间的关系，请同学们独立思考。请看图形，三角形包括等腰三角形和直角三角形，在等腰三角形中又包括等边三角形和等腰直角三角形，等腰直角三角形又属于直角三角形。画图时要注意包含与被包含、一般与特殊的关系。这样分类是研究问题的一种常用方法。你能结合等腰三角形的知识举例说明吗？已知等腰三角形的边长为 2 厘米、3 厘米，求等腰三角形的周长。

　　师：这里 2 厘米可能为腰长，3 厘米也可能为腰长，所以要分类讨论。当 2 厘米为腰长时，2 + 2 ＞ 3，所以周长等于 2 + 2 + 3 = 7 厘米。当 3 厘米为腰长时，3 + 3 ＞ 2，所以周长为 3 + 3 + 2 = 8 厘米。

　　师：问题四，利用等腰三角形的轴对称性能发现它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？

　　师：很容易得到结论，等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角。等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合。那么如何用全等三角形的知识进行证明呢？

　　师：看图，只要证出三角形 ABD 和三角形 ACD 全等，就能得到上面两个结论。方法一，可以作顶角的平分线 AD，根据边角边得到这两个三角形全等。由全等就可以得到 BD = CD，∠B = ∠C，∠ADB = 90°，从而得出上面两个结论。还可以作底边上的中线，用边边边证明这两个三角形全等。还可以怎么用 HL 进行证明？

　　师：追问一，等边三角形作为特殊的等腰三角形有哪些特殊的性质呢？看动画，等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，等边三角形的各角都等于 60 度。那么如何判断一个三角形是等腰三角形？等腰三角形的性质与判定之间有什么关系？等边三角形呢，请同学们独立思考。

　　生：有两个角相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形两个底角相等，它们是互逆定理。三个角都相等的三角形是等边三角形，它们也是互逆定理。

　　师：追问三，直角三角形斜边上的中线与斜边有什么数量关系？你能用等腰三角形的知识证明吗？

　　师：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。比如在图中，∠ACB 是直角，∠B 是锐角，在∠ACB 内作∠BCD = ∠B，CD 与 AB 相交于点 D，证明 CD = 1/2 AB。由作图可知∠BCD = ∠B，∠A + ∠B = 90°，∠BCD + ∠ACD = 90°。根据等角的余角相等，所以∠A = ∠ACD，所以 AD = DC。又因为∠BCD = ∠B，所以 BD = CD，所以 CD = 1/2 AB。

　　师：问题五，勾股定理和勾股定理的逆定理之间有什么区别和联系？勾股定理是这样的，直角三角形两条直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2 + b2 = c2。逆定理是这样的，如果三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。它们的区别是？勾股定理通过直角得到三边关系，逆定理通过三边关系得到直角三角形，它们有联系，互为条件，互为结论，是互逆定理。你能通过补或割的办法证明吗？运用了什么思想方法？我们来看。

　　师：左图中的黑色正方形，通过补的办法将它补成一个红色的较大正方形，这样较大的正方形由五个图形构成，分别是中间的黑色正方形和四个角上全等的直角三角形。利用面积相等，整体的面积等于 5 个部分面积的和，很容易得到 (a + b)2 = 1/2 ab × 4 + c2，所以 a2 + b2 = c2。