师：同学们，今天我们学习的课题是 4.5 四边形 2。大家还记得我们是如何研究三角形的吗？我们从一般到特殊，先研究一般三角形，再研究特殊三角形，像等腰三角形、等边三角形、直角三角形等等。同样，对四边形的研究也是从一般到特殊，前面我们已经研究了从四边形到平行四边形。现在请大家想一想，还有哪些特殊的四边形呢？

　　生：矩形、菱形、正方形。

　　师：没错，矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质。除此之外，它们还有各自的特殊性。比如矩形的角是 90 度，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；正方形更加特殊，具备矩形和菱形的一切性质。那它们之间有什么关系呢？四边形可以通过一定条件得到矩形，也可以得到菱形。如果直接在平行四边形的基础上，想要得到更特殊的矩形、菱形、正方形，需要添加什么条件呢？我们依然从边、角、对角线角度考虑。从平行四边形到矩形，可以添加一个角是直角，或者添加对角线相等。从平行四边形到菱形，可以添加一组邻边相等，或者对角线互相垂直。正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，既可以从矩形得到正方形，也可以从菱形得到正方形。一组邻边相等的矩形是正方形，在矩形的基础上添加对角线互相垂直也能得到正方形。从菱形的角度，添加一个角是直角，或者添加对角线相等，都可以得到正方形。当然，从平行四边形出发，添加一个角是直角，且有一组邻边相等，同样可以得到正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形也能得到正方形。所以它们之间存在这样的关系：平行四边形包含矩形，包含菱形。而正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。下面我们就利用特殊四边形的性质和判定来解决问题。来看例一，如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB 到 E，使 AE = AC，连接 CE，则∠BCE 的度数是多少？图中四边形是正方形，AC 是对角线，所以∠CAE = 45 度。又因为 AE = AC，所以△ACE 是等腰三角形，∠ACE 是底角，可以得到∠ACE =（180 度 - 45 度）÷ 2 = 67.5 度。则∠BCE 的度数等于 67.5 度 - 45 度 = 22.5 度。

　　师：再看这道题，已知菱形 ABCD 的周长是 40，一条对角线 AC 长为 12，菱形的面积是多少？

　　生：因为菱形四条边相等，周长是 40，所以边长 AD = 10。

　　师：很好，对角线互相平分，且 AC = 12，所以 AO = 6。又因为对角线互相垂直，根据勾股定理可以得到 DO = 8，那么 BD 长就是 16。要求菱形的面积，可以通过四个直角三角形的面积和，或者利用菱形面积公式二分之一对角线的乘积，都能得到菱形的面积是 96。下面来看例 2，如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 为 BC 上两点，且 BE = CF，AF = DE。求证△ABF ≌△DCE，四边形 ABCD 是矩形。第一问，要证两个三角形全等，请同学们回顾一下，三角形全等的判定方法有哪些？

　　生：有 ASA、AAS、SAS、SSS，还有特殊的 HL。

　　师：那我们应该如何选择呢？我们从条件出发，要证△ABF ≌△DCE，已经具备 BE = CF，AF = DE，即已知一条边和另一条边的一部分，可以得到两条边对应相等。那么我们会考虑有两条边的判定方法，也就是 SAS、SSS 或者特殊的 HL。不过注意，HL 必须在直角三角形中才能使用。目前缺一个角或一条边，需要我们结合条件联想推导得到。题目条件是平行四边形 ABCD，它能提供很多边或角的关系。发现对边相等可得 AB = CD，这样我们就可以用 SSS 来证明本题了。看一下书写：解，因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB = CD。又因为 BE = CF，所以 BE + EF = CF + EF，即 BF = EC。在△ABF 和△DCE 中，AB = CD，BF = EC，AF = DE，所以△ABF ≌△DCE（SSS）。第二问中要判定四边形是矩形，结合前面的判定方法，平行四边形到矩形需要添加什么条件呢？

　　生：可以从角或对角线路手。

　　师：从角入手，我们只要找一个直角。同学们要知道这道题有两小问，一般两问之间是有联系的，可能是条件运用方面的，也可能是论证方法方面的。本题中的第一问的全等，可以给第二问提供角或边的关系。从第二问的分析来看，我们需要角的关系，由对边平行得到∠B + ∠C = 180°，又因为∠B = ∠C，所以∠B = ∠C = 90 度。如果从对角线上手，我们这里也可以连接对角线，利用△BED 与△CFA 全等证明对角线相等，从而也可以证得矩形。简单看一下规范书写，由全等可以得到∠B = ∠C。由平行四边形可得 AB ∥ CD，所以∠B + ∠C = 180°，进而∠B = ∠C = 90 度。在平行四边形的基础上，有一个角是 90 度，所以四边形 ABCD 是矩形。下面来看例 3，如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、AD 边上的点，且 AE = CF。求证△ABE ≌△CDF。当 AC ⊥ EF 时，四边形 AECF 是菱形吗？请说明理由。第一问证全等，我们可以参考上一题分析的思路，分析两个三角形已经具备的条件是什么，还需要添加什么条件，结合题目的条件进行选择。由矩形 ABCD 可得∠B = ∠D = 90 度，AB = CD。由条件可知 AE = CF，所以可以用证明全等的特殊方法 HL 来证明这两个三角形全等。第二问，要证四边形 AECF 是菱形，已经具备对角线垂直这一条件，只要证四边形 AECF 是平行四边形即可。方法有很多，我们要善于选择一个最优的方法，结合第一问提供的条件，我们可以从边入手，两组对边分别相等，或者一组对边平行且相等都可以证明四边形 AECF 是平行四边形。再由 AC ⊥ EF，就能证得四边形是菱形。由矩形 ABCD 可得对边平行且相等，由三角形全等可得 BE = DF，所以 AF = EC。又因为 AE = FC，所以四边形 AECF 是平行四边形。因为 AC ⊥ EF，所以四边形 AECF 是菱形。