师：同学们，今天我们学习的课题是4.7圆（二）。大家过一点画圆的切线，画画看，思考画了几种情况，这个点的位置确定吗？它可以在哪些地方呢？我们知道点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上以及点在圆内。当点在圆外时，大家感觉能画几条圆的切线？

　　生：两条。

　　师：点在圆上呢？

　　生：有且仅有一条。

　　师：点在圆内，能画出圆的切线吗？为什么？

　　生：假设能画出圆的切线，这条切线必定经过圆内这一点，那么就与圆有两个交点，这和切线与圆有且仅有一个交点矛盾，所以过圆内一点画不出圆的切线。

　　师：非常好，也可以连接OC，因为点C为圆内一点，所以OC小于半径r，故过点C的直线必定与圆相交，从而画不出圆的切线。所以过一点画圆的切线有两种情况。那由这两幅图能得到什么呢？

　　生：由切线的定义可得OD垂直LR，由切线长定理可得PA等于PB。

　　师：下面请大家在这幅图的基础上再画一条切线，使得三条切线组成一个三角形。大家画出来的图形是什么样子的呢？

　　（学生画图）

　　师：我们可以这样画，也可以这样画。图一称之为三角形的旁切圆，图2是大家熟悉的三角形的内切圆。那由这幅图能想到什么呢？

　　生：点O是三角形DEP三个内角平分线的交点，称为三角形DEP的内心。由切线长定理可得PA等于PB，EA等于EC，DB等于DC。

　　师：没错，这是三角形的内切圆。我们知道还有三角形的外接圆，点O是三角形DEP三条边垂直平分线的交点，称为三角形DEP的外心。下面我们来看一个例题。首先请同学们读题、标量。

　　（题目展示：如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，连接PO交圆O于点D。1. 求证PO平分角APC。）

　　师：同学们，会做吗？写写看。观察到条件PA、PB是圆O的切线，能想到什么呢？

　　生：连接OB，可得OA等于OB，OA垂直PA，OB垂直PB。

　　师：还能想到什么呢？有两条切线能想到什么？

　　生：切线长定理，PA等于PB。

　　师：怎么证明PO平分角APC呢？

　　生：只需证角APO等于角BPO即可。

　　师：那怎样证两个角相等？

　　生：可以证三角形PAO全等于三角形PBO。也可根据角平分线的判定定理，由OA等于OB，OA垂直PA，OB垂直PB可得PO平分角APC。

　　师：请同学们将完整的解题过程写下来，我们以第二种方法为例。如果连接DB且角C等于30度，能证明DB平行AC吗？怎么证明两条直线平行？

　　生：可以找三种角之间的关系，同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补。

　　师：这里我们观察到条件中有角C等于30度，所以我们选择证明同位角C等于角PBD，大家不妨试试看。

　　（学生证明）

　　师：我们一起看看。证明：因为OA垂直PA，OB垂直PB，所以角CAP等于角OBP等于90度。因为角C等于30度，所以角APC等于90度减角C等于60度。因为PO平分角APC，所以角OPC等于1/2角APC等于30度，所以角POB等于90度减角OPC等于60度。又OD等于OB，所以三角形ODB是等边三角形，所以角OBD等于60度，所以角DBP等于角OBP减去角OBD等于90度减60度等于30度，所以角DBP等于角C，所以DB平行AC。同学们，做对了吗？本题也可以证明BD为三角形POC的中位线，大家会证明吗？留给同学们自行完成。下面我们来看例2，请同学们读题、标量。