师：同学们好，今天我们学习的课题是 4.6 元一。同学们，你们知道圆的基本元素有哪些吗？与圆相关的几何元素又有哪些呢？

　　生：基本元素包含圆心、半径，弧相关元素则是弦、圆心角、圆周角。

　　师：那么圆的基本元素与相关元素之间有什么关系呢？请大家画图说明。

　　（有同学画出一幅图）

　　师：大家看看这幅图，它想告诉我们什么呢？

　　生：观察到这幅图有圆、圆心角、弦、弧，可以联想到关系定理。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

　　师：文字语言、图形语言都有了，符号语言，你们会写吗？请动笔写一写。

　　生：因为∠AOB = ∠COD，所以 AB = CD，弧 AB = 弧 CD。当然这三者的位置可以相互交换，比如，因为 AB = CD，所以∠AOB = ∠COD，弧 AB = 弧 CD。

　　（又有同学画出另一幅图）

　　师：这幅图又想告诉我们什么呢？

　　生：垂径定理，垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

　　师：请写出符号语言。

　　生：因为 AB 垂直 CD，AB 是直径，所以 CP = DP，弧 BC = 弧 BD，弧 AC = 弧 AD。

　　师：同学们，以上我们通过画图说明了直径、弦、弧、圆心角之间的关系，那圆周角呢？圆周角可以和什么联系起来？看到图，你们想起了什么吗？

　　生：想到圆心角，圆周角定理是圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。同弧或等弧所对的圆周角相等。

　　师：请写出圆周角定理的符号语言。

　　生：∠C = 1/2∠O，∠C = ∠D = ∠E。

　　师：同学们，圆周角定理可不可以特殊化呢？怎么特殊化？如果∠O = 180 度，即 AB 是直径时，你们有什么发现？

　　生：AC 垂直 BC，即∠C = 90 度。

　　师：所以圆周角的定理特殊化可得：直径所对的圆周角是直角，当然反之也是成立的，即 90 度的圆周角所对的弦是直径。符号语言，因为 AB 是直径，所以∠C = 90 度。反之，因为∠C = 90 度，所以 AB 是直径。圆的基本元素与相关元素之间还有什么关系呢？可以将圆和其他图形结合起来想，比如圆和四边形结合起来能得到什么呢？

　　生：圆内接四边形，对角互补。因为四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，所以∠A + ∠C = 180 度，∠B + ∠D = 180 度。

　　师：以上，咱们用 6 幅图回忆了圆的基本元素与相关元素之间的关系，同学们都记住了吗？下面我们来看这道例题，请同学们读题、标量。

　　（题目：如图，圆 O 的弦 AB，CD 的延长线相交于点 P，且 AB = CD，求证 PA = PC）

　　师：同学们，你们会证明吗？如果会，请动笔将完整的证明过程写下来。对于几何证明题，我们的思路是 8 个字：看看条件，看看结论。观察结论，发现要证 PA = PC，可以怎么想？证两条线段相等，怎么证？可证两个三角形全等对应边相等，或者也可利用等腰三角形等角对等边来证。那图中有三角形吗？

　　生：没有。

　　师：没有怎么办？