师：今天我们学习的课题是四点四边形。首先，平行四边形是同学们熟悉的图形，大家还记得平行四边形有哪些性质吗？我们可以从哪些角度研究平行四边形的性质呢？

　　生：可以从对称性、边、角、对角线四个角度去研究。

　　师：非常好。那我们一起来梳理一下平行四边形。从对称性的角度看，平行四边形是中心对称图形。从边的角度，平行四边形两组对边分别平行，两组对边分别相等。从角的角度，两组对角分别相等。从对角线的角度，对角线互相平分。于是，我们可以得到平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，对角线互相平分。我们结合图形写出它的符号语言：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB = CD，AD = BC，∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADC，AO = CO，BO = DO 。那如何判定一个四边形是平行四边形呢？

　　生：仍然可以从边、角、对角线角度去研究。有两组对边分别平行且相等，有如下四种组合：两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等，一组对边平行，另一组对边相等。还有角，两组对角分别相等，对角线互相平分。

　　师：这些都可以判断平行四边形吗？其中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定。如图中满足一组对边平行而另一组对边相等，但它不是平行四边形。因此，一组对边平行，另一组对边相等不能判定平行四边形。我们将如下四条作为判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。同学们可以暂停视频，写一写它们的符号语言。请同学们想想看，平行四边形的性质和判定有什么联系吗？

　　生：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这是平行四边形的定义，既是性质定理，也是判定定理。平行四边形的性质定理与判定定理互为逆定理。

　　师：非常好。下面我们来看例题。例一，在平行四边形ABCD中，若∠A + ∠C = 100°，则∠D等于多少度？

　　生：根据平行四边形对角相等，且∠A + ∠C = 100°，可得∠A = ∠C = 50°。又因为AB平行于CD，∠A + ∠D = 180°，所以∠D = 130°。

　　师：正确。第二题，在平行四边形中，对角线AC、BD相交于点O，BD = 12，AC = 6，三角形BOC的周长为17，则AD的长为多少？

　　生：由平行四边形可知，对角线互相平分，BD = 12，AC = 6，所以BO = 6，OC = 3。又因为三角形BOC的周长为17，所以BC = 8。在平行四边形中对边相等，所以AD = BC = 8。

　　师：很好。我们结合图形特征，灵活运用平行四边形的性质，就能解决图形当中和角、边相关的问题。下面我们来看例2。如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE = FC，EF、BD相交于点O，求证OE = OF。本题要证OE = OF，即要证两条线段相等，请同学们想一想，证明线段相等的方法有哪些？

　　生：证明线段相等的方法有很多，比如全等三角形对应边相等、等腰三角形等角对等边、角平分线上的点到角的两边距离相等、线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等、平行四边形对边相等，对角线互相平分。

　　师：那我们应该怎么选择呢？我们选择解题方法需要结合题目已有的条件，选择最优的方法。本题中不具备角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形等条件，则不考虑相关的方法。本题中有平行四边形、三角形，我们可以考虑用三角形全等或者是平行四边形的性质去证明两条线段相等。如图，我们可以考虑三角形EOD和三角形FOB全等。同学们还可以仔细观察，这里隐藏着平行四边形BEDF，我们连接BE、DF，易得平行四边形BEDF，从而可以得到OE = OF。我们一起来看一下过程。书写：连接BE、DF，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD平行于BC，AD = BC。因为AE = CF，所以AD - AE = BC - CF，即DE = BF。因为DE平行于BF，DE = BF，所以四边形BEDF是平行四边形，所以OE = OF。