师：同学们好，今天我们学习的课题是 4.8 圆三。前面我们已经复习了圆的基本概念和相关性质，大家回忆一下，我们经历了哪些图形和圆的关系的研究？还可以继续怎样研究呢？

　　生：在之前的学习中，我们经历了点和圆以及直线和圆的位置关系的研究，研究过程中体现了用数量控制位置关系的研究方法，重点研究了直线和圆相切的情况。

　　师：非常好。在此基础上，我们还学习了三角形和圆的关系，圆可以和三角形外接和内切。这样的关系能否推广到四边形和圆乃至正多边形和圆的关系当中去呢？

　　生：可以。与正多边形外接时，正多边形的中心角就是圆的圆心角，正多边形的边心距就是圆心到弦的垂直距离。与正多边形内切时，往往会把这样的问题转化为直线和圆相切的情况进行研究。

　　师：没错。下面我们来看这样一个问题。如图，直角三角形 ABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D ，AD 等于 3，BD 等于 4 。求三角形 ABC 的面积。本题可以从两个角度去分析，一个是从条件出发进行联想，另一个是从结论出发进行联想。先从条件出发，三角形 ABC 内切圆与斜边 AB 相切，结合图形和切线长定理，能得到什么呢？

　　生：AE 等于 AD 等于 3，BF 等于 BD 等于 4，设 CF 等于 CE 等于 x 。

　　师：很好。结合直角三角形这个条件，再根据勾股定理，能得到关于 x 的什么关系式呢？

　　生：（x + 3）2 +（x + 4）2 =（3 + 4）2 ，整理可得 x2 + 7x = 12 。

　　师：我们解决问题就是要缩小条件和结论之间的差距，所以我们还可以从结论出发进行联想。结论是求三角形 ABC 的面积，三角形是直角三角形，结合直角三角形面积公式，能得到什么呢？

　　生：三角形 ABC 的面积等于 1/2 AC×BC ，带入可表示的线段，整理得到三角形 ABC 面积等于 1/2（x2 + 7x + 12）。

　　师：大家仔细观察，这个式子有个明显特征，其表达式中的 x2 + 7x ，在前面从条件联想时已经得到，把它代入进去，能得到什么？

　　生：三角形面积等于 12 。

　　师：回顾这个问题，细心的同学会发现，三角形的面积等于 12 与条件所提供的 AD 等于 3，BD 等于 4 之间好像有联系，恰好是面积等于 3×4 。这里我们可以尝试取不同数值去验证，在验证过程中会形成这样一个猜想：已知三角形 ABC 内切圆与 AB 相切于点 D ，AD 等于 m ，BD 等于 n ，若∠C = 90°，求证三角形 ABC 的面积等于 m×n 。这个问题是将刚才的问题一般化，大家思考一下，类似于刚才的分析方法，首先从条件开始联想。三角形 ABC 内切圆与 AB 相切于点 D ，结合切线长定理能得到什么？

　　生：AE 等于 AD 等于 m ，BF 等于 BD 等于 n ，设 CF 等于 CE 等于 x 。

　　师：再结合直角三角形条件，根据勾股定理能得到关于 x 的什么表达式？

　　生：（x + m）2 +（x + n）2 =（m + n）2 ，整理可得 x2 +（m + n）x = mn 。

　　师：为了缩小差距，我们接着从结论出发，从直角三角形要求的面积来联想。根据面积公式代入相关线段长度 AC 和 BC ，能得到什么？

　　生：三角形 ABC 面积等于 1/2 [x2 +（m + n）x + mn ] 。

　　师：此时与从条件开始联想得到的式子很接近了，把从条件联想得到的 x2 +（m + n）x = mn 代入进去，能得到什么？

　　生：三角形 ABC 面积等于 m×n ，从而证得三角形面积等于 m×n 。

　　师：经过证明，我们得到这样一个结论：直角三角形面积等于它的内切圆分斜边所得的两条线段长度的乘积。研究到这里，对于此题，我们还能做怎样的思考呢？能倒过来思考吗？如图，三角形 ABC 内切圆与 AB 相切于点 D ，AD 等于 m ，BD 等于 n 。若 AC×BC = 2mn ，求证∠C = 90°。倒过来思考是什么呢？

　　生：从三角形面积表示为 m×n 去证明三角形为直角三角形。