师：今天我们学习的课题是5.2图形的相似一。下面来看例一，如图，已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF垂直于AE，垂足为F。求证三角形ABF相似于三角形EAD。先从结论出发，要证明两个三角形相似，需两个条件。从已知条件看，矩形能得出相关边角关系。综合条件和结论，矩形可得角BAD等于角D等于90度，而BF垂直于AE能得出角AFB等于90度。把这两个条件综合起来，发现角D等于角AFB等于90度，这恰好是相似所需的一组对应角。再看，角BAD等于90度，可变为角BAF加角DAE等于90度，角AFB等于90度，又能得到角BAF加角ABF等于90度。根据同角的余角相等，就能得到角ABF等于角DAE，这样两个三角形相似得证。这是思路分析，下面完整证明这个题目。

　　因为四边形ABCD是矩形，所以角BAD等于角D等于90度。由角BAD等于90度，可得角BAF加角DAE等于90度。因为BF垂直于AE，所以角AFB等于90度。由角AFB等于90度，又可得角BAF加角ABF等于90度。综合以上条件，可得角AFB等于角D，角ABF等于角DAE，它们都和角BAF互余，所以三角形ABF相似于三角形EAD。

　　好，下面继续看例2，如图，已知三角形ABC，P为AB上一点，连接CP，要使三角形ACP相似于三角形ABC，只需添加的条件是什么？只要写出一种合适的条件。来看这两个三角形对应的边和角，角CAP对应角BAC、角ACP对应角ABC、角APC对应角ACB。从边的角度看，有AP比AC等于AC比AB，AP比AC等于CP比BC，或者CP比BC等于AC比AB。这6组对应中，角CAP和角BAC显然是一组相等的公共角。那么需要的条件应该是另外一个角相等，或者是夹角A的两组对应边成比例。添加的条件可以是角ACP等于角ABC，依据是两角分别相等的两个三角形相似；或者是角APC等于角ACB，依据同样是两角分别相等的两个三角形相似；或者是AP比AC（夹的是角CAP）等于AC比AB（夹的是角BAC），依据是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

　　通过这个题，我们复习了相似三角形的三种判定方法。三边对应成比例为什么没拿出来呢？因为已经有一个角CAP等于角BAC的条件，我们只需两边对应成比例即可，不需要三边对应成比例。下面梳理一下两个三角形相似的三种判定方法。与它类似的全等的三个判定，分别是角边角、角角边、边角边。我们知道全等是特殊的相似，也就是相似比为1的相似。所以在由全等到相似的判定过程中，条件发生了变化。比如边角边，两边相等变成了两边对应成比例；角边角或角角边，因为只有一条边，肯定有一个比例，所以只需两角相等，而边由三边相等，比值为1，变成了比值为k，即三边对应成比例。下面看例3。

　　学习图形相似后，我们借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。我们知道两个直角三角形全等的判定方法有边角边、角边角、角角边以及HL。因为已有两个直角相等，所以不选择用边。针对这个问题，我们可以提出：对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等，或者两直角边分别相等，两个直角三角形全等，这就是刚才讲的角边或边角边。把它推广到相似，类似地，可以得到满足一个锐角对应相等（一个锐角加一个直角分别相等），两个三角形相似；或者夹直角的两条边（即两直角边）对应成比例，两个直角三角形相似。这个题的解决源于刚才分析的全等和相似之间的关系。继续探究，满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，这就是HL。类似地，可以得到满足什么的两个直角三角形相似呢？从刚才分析可知，原来全等时斜边和斜边相等、直角边和直角边相等，其实就是比为1。比如BC比B'C'在全等时为1，AB比A'B'全等时为1，AC比A'C'全等时为1。现在推广到相似，应该是满足斜边AB比A'B'等于一个相似比k，AC比A'C'等于相似比k，或者BC比B'C'等于相似比k，所以这里应填斜边和一条直角边对应成比例。下面结合图形把文字语言转化为符号语言。

　　描述时，先描述特征是两个直角三角形，角C等于角C'等于90度，然后选择斜边和其中一组对应的直角边成比例。比如，在Rt三角形ABC和Rt三角形A'B'C'中，角C等于角C'等于90度，AB比A'B'等于AC比A'C'。所谓斜边和一组直角边成比例，求证这两个直角三角形相似，怎么解决呢？在这之前，回顾一下相似三角形几个判定定理是怎么得到的。首先从一个基本事实入手，两条直线被一组平行线L1、L2、L3所截，所得的对应线段成比例，即AB比DE、BC比EF、AC比DF比值相等。在这个基本事实基础上，得到一条定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。也就是由DE平行于BC，可直接得到三角形ADE相似于三角形ABC。当然D和E可以分别在BC、AC的延长线上。在这个定理基础上，逐一探究了相似三角形的三种判定方法，来看它们的通法。