师：同学们好，今天我们学习的课题是5.2图形的相似二。下面来看例一，如图，在三角形ABC中，DE平行于BC，AD比DB等于1:2 ，则下列结论中正确的是。选项AB是线段的比的关系，选项CD是三角形的周长和面积的比的关系。

　　从条件来看，DE平行于BC可以得到AD比DB等于AE比EC，由分线段成比例也能直接得出三角形ADE相似于三角形ABC。两个三角形相似的相似比应该是AD比AB。已知条件中AD比DB等于1:2，由此可得AD比AB等于1:3 。所以AE比AC应该等于相似比1:3 ，选项A错误。选项B中DE比BC也等于AD比AB等于1:3 ，选项B错误。

　　三角形ADE与三角形ABC周长之比等于相似比1:3 ，所以选项C正确。三角形ADE和三角形ABC面积比应该等于相似比1:3的平方，即1:9 ，所以正确答案应该选C。通过此题，我们复习了相似三角形的性质：相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。

　　下面来看例2第一小题，如图，三角形ABC相似于三角形A'B'C' ，AD、A'D'分别是三角形ABC和三角形A'B'C'的角平分线。求证三角形ABD相似于三角形A'B'D'。

　　从条件分析，已知三角形ABC相似于三角形A'B'C' ，可得两个三角形的对应角相等，对应边成比例。因为这里主要研究角的关系，所以我们选择角B等于角B' ，角BAC等于角B'A'C' 。

　　另一个条件，AD、A'D'分别是两个三角形的角平分线，由此可得角BAD等于二分之一角BAC，角B'A'D'等于二分之一角B'A'C' 。再结合前面得到的角BAC等于角B'A'C' ，可以推出角BAD和角B'A'D'相等。加上前面得出的角B等于角B' ，就能证得三角形ABD相似于三角形A'B'D' 。

　　从这道题的证明过程可以看出，由三角形ABC相似于三角形A'B'C'得到两组对应角相等，最后再依据两角分别相等证得三角形ABD相似于三角形A'B'D' ，这就是相似三角形判定和性质的综合应用。

　　由最终结论三角形ABD相似于三角形A'B'D' ，我们进一步可以得到AD比上A'D'等于相似比。这也是教材中给出的相似三角形的一条性质：相似三角形对应角平分线之比等于相似比。而且我们把AD、A'D'分别是两个三角形的角平分线改为中线或者高，也能获得同样的结论。

　　下面我们把这个问题进一步一般化，如图，三角形ABC相似于三角形A'B'C' ，相似比为k ，点D和D'分别在BC、B'C'上，且BD比BC等于B'D'比B'C' 。求证三角形ABD相似于三角形A'B'D' 。这里的点D和D'实际上就是BC和B'C'两边上的一组对应点，我们用比例的形式体现了这种对应关系。注意BD比BC的这个比值并不是k ，我们把它设为m ，要想把它和相似比联系起来，可以将这个比例式变换为BD比B'D'等于BC比B'C' 。

　　此时BC比B'C'就是相似比k ，要证明三角形ABD相似于三角形A'B'D' ，可以选择一个角相等，两边对应成比例，即我们能得到BD比B'D'等于k 。刚才说过，AB比A'B'等于k可直接由相似三角形得到，再加上夹角角B和角B'是原相似三角形的对应角，从而证得这两个三角形相似。来看这个题目的分析过程，由相似可得对应角相等，对应边成比例，比值都等于相似比k 。把条件中的BD比BC等于B'D'比B'C'变换为BD比B'D'等于BC比B'C' ，自然就等于k了，所以两者结合，得到AB比A'B'等于BD比B'D'等于k ，再加上夹角相等，证得三角形ABD相似于三角形A'B'D' 。从这个结论进一步可得AD比A'D'等于k 。从而我们得到相似三角形的一条性质：相似三角形的对应线段之比等于相似比。从此题可以看出相似性质与判定的综合应用，特别是条件中BD比BC等于B'D'比B'C'的这种变化。

　　通过例1、例2我们复习了相似三角形的性质：一、相似三角形的对应角相等，对应边成比例；二、相似三角形的对应线段之比等于相似比；三、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。下面来看例3。

　　第一小题，如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P放一水平的平面镜。光线从A出发，经过平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处。已知AB垂直于BD，CD垂直于BD，且测得AB等于1.2米，BP等于1.8米，PD等于12米，那么该古城墙的高度是多少？