师：同学们，今天我们学习的课题是 5.3 锐角三角函数第二课时。上一节课我们复习了锐角三角函数的定义，这节课我们利用锐角三角函数来解决问题。

　　第一题，如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$BC = 6$，求$AB$的长，结果保留根号。根据图，$BC$是$\angle B$的邻边，$AB$是斜边，我们选择$\angle B$的余弦$\cos B = \frac{BC}{AB}$，变形可得$AB = \frac{BC}{\cos B} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3}$。

　　接下来求解第二题。在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = \sqrt{6}$，$BC = 3\sqrt{2}$，解这个三角形。解这个三角形就是要把三角形$ABC$中除了已知的两边和一角外，其余剩下的两角以及一边全部求出来。

　　因为$AC$是$\angle A$的邻边，$BC$是$\angle A$的对边，我们选择$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{3}$，所以$\angle A = 60^{\circ}$。然后根据直角三角形的两个锐角互余，可得$\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 30^{\circ}$。求$AB$的方法很多，这里选择$30$度角所对的边等于斜边的一半，所以$AB = 2AC = 2\sqrt{6}$。

　　上面解直角三角形的过程总结起来，就是确定直角三角形除直角外的条件，类似判断直角三角形全等的条件。我们只需已知除直角外的两个元素，就可以求出剩下的三个元素，这就是解直角三角形的过程。在已知的两个元素中，至少必须有一边，因为三个角相等不能判断两个直角三角形全等。解直角三角形还分为已知一边一角求另外两边和一角的过程，以及两边求第三边和两角的过程。这个过程中利用的知识有三边之间的关系，即勾股定理，两个锐角之间互余的关系，以及边角之间的关系，也就是两个角的六个三角函数值的运用。

　　例 2，在$\triangle ABC$中，$AC = 8$，$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，求$AB$的值。这个三角形不是直角三角形，我们把它称为斜三角形。如何利用$30$度角和$45$度角呢？我们过$C$作$CD\perp AB$，垂足为$D$。这样原来的三角形就分成左右两个直角三角形来分别求解。

　　在$Rt\triangle ACD$中，已知一个锐角一条边，我们就可以求解这个直角三角形。这里要求的边有$AD$和$CD$，所以选择$\cos A = \frac{邻边}{斜边}$，即$AD = AC \times \cos A = 8\times\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$。$CD$我们选择最简单的方法，$CD$等于$AC$的一半，即$CD = 4$。$CD$是两个直角三角形的公共边，是两个直角三角形联系的桥梁。

　　在$Rt\triangle BCD$中，已知$CD$和$\angle B = 45^{\circ}$，我们又可以求解这个直角三角形。这里要求的边是$BD$，根据$\tan B = \frac{CD}{BD} = 1$，可得$BD = CD \times \tan B = 4\times1 = 4$。当然，这里也可以选择特殊的等角对等边来解决$BD$的长度。最后$AB$的长就等于$AD + BD = 4\sqrt{3} + 4$。

　　第二题，在$\triangle ABC$中，$AC = 6$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle C = 15^{\circ}$，求$AB$的长，结果保留根号。最初的想法很容易是过$A$作$BC$的垂线把斜三角形分割成两个直角三角形，但是有一个直角三角形含有$15$度这个非特殊角，一般情况下我们不知道$15$度角的三角函数值，所以这个办法走不通。我们选择过$C$作$CD\perp AB$，垂足为$D$。根据三角形中角度的关系，我们可以求出$\angle CAD = \angle ACB + \angle B = 45^{\circ}$，这是我们常见的特殊角。这样我们就得到两个含有特殊角的直角三角形，一个是$\triangle ACD$，一个是$\triangle BCD$。在$\triangle ACD$中，已知斜边$AC = 6$，$\angle CAD = 45^{\circ}$。选择$\cos \angle CAD = \frac{AD}{AC}$，转化为$AD = AC \times \cos \angle CAD = 6\times\cos 45^{\circ} = 6\times\frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$。

　　同样，$CD$也可求出来，$CD = 3\sqrt{2}$，也可以用$CD = AD$得出$CD = 3\sqrt{2}$。$CD$同时属于两个直角三角形，位置非常重要，是两个直角三角形的公共边。在$Rt\triangle BCD$中，已知$CD$和$\angle B = 30^{\circ}$。我们选择$\tan B = \frac{CD}{BD}$，转化为$BD = \frac{CD}{\tan B} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 3\sqrt{6}$。求出了$BD$和$AD$，我们就可以得出$AB = BD - AD = 3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}$。

　　这个题目也是把一个三角形分割成两个直角三角形，但分割是通过作一条外部的线来实现的。总结一下，确定两个三角形全等需要三个条件，已知三个条件就可以求出未知的三个元素，类似地，我们把这个过程称为解斜三角形。解斜三角形其实就是转化为解直角三角形。转化的方法一般有两类，在三角形的内部添一条高，或者在三角形的外部添一条高，这条高称为两个直角三角形的公共边，起着非常重要的作用。解斜三角形分为已知两边、夹角求另外两角一边，或者已知两角及其一组等角的对边，或者已知三边来求三角的过程。一般题目中不会出现解斜三角形这个词，但会要求求出一部分量，比如只要求某一条边或者某一个角。