师：今天我们学习的内容是 6.1 图形与坐标。首先来看一个问题导引，在平面中确定一个物体的位置一般需要两个数据，能结合具体实例说明吗？就像我们的教室，第二排第四列同学的座位可用(2, 4)表示，第四排第二列同学的座位可用(4, 2)表示。所以在教室里，可通过有序实数对(x, y)表示同学的位子。除了教室，还有其他例子。比如例一，如图是一台雷达探测器在点 O 处测得的结果，图中显示在 A、B、C、D 处有目标出现，用适当方式分别表示每个目标的位置，并判断哪处出现的目标到探测点的距离最远。

　　观察图可知，点 A 的位置是北偏东 30 度，距离 O 点一个单位；点 B 的位置是北偏东 60 度，距离 O 点一个单位；点 C 的位置是正北方向，距离 O 点 4 个单位；点 D 的位置是北偏西 60 度，距离 O 点三个单位。由此可知点 C 到探测点的距离最远，通过确定方向和距离就能确定目标的位置。大家再想想，还有其他表示方法吗？

　　既然是方向和距离两个数据，那么可以定义一个有序实数对(m, α)，将与点 O 的距离为 m，正东方向逆时针旋转α度得到的点记为(m, α)。那这 4 个点可以怎样表示呢？点 A 可用(1, 60)表示，点 B 用(1, 30)，点 C 用(4, 90)，点 D 用(3, 150)，同样能看出点 C 到探测点的距离最远。

　　那在数学中平面内的点如何表示呢？平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置，反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示。下面来看例 2。在直角坐标系中描出下列各点，并将它们顺次连接起来。A 的坐标是(0, 3)，B 的坐标(4, 3)，C 的坐标(6, 4)，点 D(4, 5)，点 E(0, 5)，并顺次连接。

　　观察所得到的图形，用自己的语言给这个图形命名。比如铅笔头、火箭等想法都很好。再来观察线段 DE 和 AB，能得出什么结论？不难看出 DE 平行于 AB，并且 DE 等于 AB。

　　还发现 DE 和 AB 都与 x 轴平行，在坐标上有什么结论呢？点 D 和点 E 的纵坐标相同，点 A 与点 B 的纵坐标也相同。所以可得，如果两点的纵坐标相等，那么这两点的连线平行于 x 轴。下面复习这部分的主要知识点。

　　首先看知识点一，平面直角坐标系中点的坐标特征。各象限内的点，第一象限的点横纵坐标皆为正数；第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正；第三象限的点横纵坐标皆为负数；第四象限中的点横坐标为正，纵坐标为负。要知道坐标轴上的点不属于任何一个象限，那坐标轴上的点有什么特征呢？若点 P 在 x 轴上，它的纵坐标为 0，所以点 P 坐标为(x, 0)。当点 P 在 y 轴上时，它的横坐标为 0，坐标形式为(0, y)。当点 P 在原点时，坐标就是(0, 0)。

　　在坐标系中还有特殊位置，在各象限角平分线上。如果点在一三象限的角平分线上，那么横纵坐标相等；二四象限角平分线上的点，横纵坐标互为相反数。下面看例 3 第一小题，已知点 P 在第三象限，它的纵坐标与横坐标之和为 -5，点 P 的坐标是什么？写出符合条件的一个点即可。设点 P 的坐标为(x, y)，它位于第三象限，且横坐标与纵坐标之和为 -5，所以 x＜0，y＜0，且 x + y = -5 。答案不唯一，比如可以写(-1, -4)。

　　第二小题，点 P 位于第三象限的角平分线上，它的纵坐标与横坐标之和仍然为 -5，此时点 P 的坐标是什么呢？由前面复习可知，点 P 在第三象限的角平分线上，它的纵坐标与横坐标相等，和又是 -5，所以点 P 的坐标是(-2.5, -2.5)。

　　当点在平面中运动起来，点的坐标会如何变化呢？主要研究对称变换和平移变换。先看点的对称变换。平面中任意一点 P，坐标为(x, y)。当点 P 关于 x 轴对称时，画出它的对应点 P1，发现 P1 与 P 横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以 P1 的坐标为(x, -y)。当点 P 关于 y 轴对称时，画出对应点 P2，发现横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，所以 P2 点的坐标为(-x, y)。当点 P 关于原点对称时，横坐标、纵坐标都变成原来的相反数，所以 P3 的坐标为(-x, -y)。