师：同学们好，今天我们学习的课题是正切二。上节课我们学习了正切的概念，现在先通过具体问题复习一下。第一题，分别求出下列直角三角形中两个锐角的正切值，请同学们先独立完成，然后一起核对。

　　在第一小问中，要先根据勾股定理求出BC边的长，然后求得$\tan!a = \frac{5}{12}$，$\tan!b = \frac{12}{5}$。同样，在第二小问中，可以直接求得$\tan!a = \frac{3}{2}$，$\tan!b = \frac{2}{3}$。上节课我们还得到过这样的结论：若$\angle a + \angle b = 90^{\circ}$，则$\tan!a \times \tan!b = 1$。如果有同学采用这种方法，求得$\tan!a$之后，再直接利用倒数关系求出$\tan!b$，也是可以的。

　　接下来看第二题。在直角三角形ABC中，$\angle c = 90^{\circ}$，如果各边长都扩大到原来的两倍，那么$\angle a$的正切值有变化吗？在正切的定义中，我们知道$\angle a$的正切等于$\angle a$的对边比上$\angle a$的邻边，它就是一个比值。所以当边长按相同的比例增大或缩小时，比值不变，正切值也就不会变。这说明直角三角形的一个锐角大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定。

　　下面我们接着看活动二，第一问，求$45^{\circ}$角的正切值，请同学们自己做一做，然后交流。根据定义，我们首先需要画一个含有$45^{\circ}$角的直角三角形。很显然，我们得到了一个等腰直角三角形，其中$45^{\circ}$角的对边和邻边就是等腰直角三角形相等的两腰。根据定义，$\tan!45^{\circ}$的值就等于$1$。这让我们想到在上一节课学习当中，在等边三角形的条件下，我们也曾利用三线合一、勾股定理等知识求出了$30^{\circ}$角和$60^{\circ}$角的正切值。

　　好，那么接下来请同学们继续做第二问，求$65^{\circ}$角的正切值，结果保留两位小数。还是请同学们先自己画一画、算一算，然后我们再一起交流。

　　师：大家在操作过程中有遇到困难吗？下面我们一起来交流一下。借助前面的经验，我们首先要画出一个含有$65^{\circ}$角的直角三角形。因为它是一个一般的直角三角形，所以我们只有通过用刻度尺度量的方法测量出它的两条直角边的长度，然后计算两条直角边的比值，从而算出$65^{\circ}$角的正切值。那么在整个过程中可能出现这样的问题：边长不一定是整数，刻度尺度量时只能取近似值，这样就会出现误差。另一方面，求两直角边的比做的还是除法运算，除不尽时只能再取近似值，这就再一次增大了结果的误差，最终可能会导致大家计算出来的近似值各不相同，误差较大。

　　这时我们就要想一想，应该做怎样的调整去尽量减小这个误差呢？首先我们可以考虑在画直角三角形时，两条直角边至少有一边可以取整数。另一方面我们也要考虑怎样减小除法运算的计算难度。我们知道如果除数为$1$，那么除法运算就会相应简单很多。这样两点一结合，我们可以考虑在AC边上取AD为一个单位长度构造这样的直角三角形ADE。那么在直角三角形ADE中，$\tan!65^{\circ} = \frac{DE}{AD}$，而这里$AD = 1$，那么就转化为只要度量出DE的长度，它的数值就是$65^{\circ}$的正切值。这样从多次取近似值误差较大转化为只有一次度量取近似值，大大减小了误差，而且计算也相当方便。请同学们再动手操作一下，体会一下整个过程。这时我们可以求得$\tan!65^{\circ} \approx 2.14$。

　　如果你学会了这种方法，那么接下来请同学们打开课本，翻到第98页，借助右边的图形尝试完成这张表格。

　　师：同学们，填好了吗？下面我们就一起来看看如何求出$\tan!10^{\circ}$。在右图中，经过E?这个点做x轴垂直的直线，这时我们就可以得到一个含有$10^{\circ}$角的直角三角形。在这个直角三角形当中，$10^{\circ}$角的邻边长为单位$1$，只要度量它的对边长度，也就是这条红色线段的长度，即可求得$\tan!10^{\circ}$的值。最后$\tan!10^{\circ} \approx 0.18$。再继续这样的过程，延长红色线段，我们就画出了$20^{\circ}$角所在的直角三角形。同样，度量红色线段的长度就可以求得$\tan!20^{\circ}$的近似值。再向上延长得到$30^{\circ}$角的直角三角形，度量红色线段的长度可以求得$\tan!30^{\circ} \approx 0.58$。继续操作，$\tan!45^{\circ} = 1$，$\tan!55^{\circ} \approx 1.43$，$\tan!65^{\circ} \approx 2.14$。线还可以继续画下去。

　　实际上我们会发现，任意一个锐角的正切值都可以借助这个图求得。接着就要请大家思考一下，对照表格与图形，你能发现什么规律吗？

　　生：在表格中我们看到当锐角增大时，它的正切值也在逐渐增大。右图中锐角的正切值对应的就是红色线段的长度，它也是随着角的增大而增大的。

　　师：总结成一句话，即锐角的正切值随着锐角的增大而增大。经过这个活动，我们明白了借助图形是可以求得任意锐角的正切值，但受到度量工具的局限，很难将数据更加精确。随着科技的进步，现在计算器就可以很方便地求出一个锐角的正切值。让我们一起学习一下，例如计算$\tan!65^{\circ}$。首先我们要在计算器上找到$\tan$键，我们可以依次按下$\tan$键，然后按数字$65$，再按等号键即可得到结果。$\tan!65^{\circ} \approx 2.14$。这里就又出现了一个问题，如果不是整数度数的角又该如何操作呢？我们举个例子，例如计算$\tan!22^{\circ}18'$，那么我们还需要用到一个键，度分秒键，它是用来区分度分秒三部分的。具体操作时先按$\tan$键，再按数字$22$，接着按度分秒键，再按数字$18$，再按下度分秒键，这就表示$22^{\circ}18'$。如果单位秒上还有数据，就再按上秒上的数字，然后按度分秒键，最后不要忘了要加上等号键，即可显示结果。$\tan!22^{\circ}18' \approx 0.41$。不同型号的计算器可能在操作上略有不同，同学们可以参考本例题的过程，在课后再自主学习。