师：今天我们学习的课题是正切一。首先请同学们看第一个问题，你能比较图中哪个台阶更陡吗？

　　生：右图中的台阶更陡一些，因为它的台阶与地面的夹角更大一些。

　　生：右图中台阶底部离墙更近一些，所以右图中的台阶更陡。

　　师：同学们的想法是否正确？表述是否准确呢？我们可以从数学的角度出发，在实际情景中抽象出几何图形——直角三角形ABC。我们知道台阶是否更陡，其实就是看∠A的大小，在这里我们把∠A称之为倾斜角。从角上看，倾斜角越大，台阶越陡。但在实际生活中，度量一个台阶或者斜坡的倾斜角比较困难，所以更多时候我们从边的角度去考虑。从边的角度我们有什么发现呢？仅仅比较某一条边的长短，不能说明倾斜程度。例如，在高度相同的情况下，右图中台阶底部离墙更近一些，所以它才更陡一些。这表明我们需要知道两条直角边的长度，才可以比较倾斜角的大小。从边上看，当垂直高度相同时，水平边长度越短，台阶越陡；当水平长度相同时，垂直高度越大，台阶越陡。好，带着这样的结论，请同学们进入活动二：比较下列图中倾斜角的大小，这里是多个角之间进行比较，同学们该如何操作呢？

　　生：按照经验，应该先分组，两两进行比较，然后再整理。

　　师：那你会如何分组呢？为了方便表述，我们先将每个倾斜角标上数字。不难发现∠1和∠2所在的两个直角三角形，它们的水平直角边长度相等都是8，竖直的直角边不一样。根据活动一得出的结论可以判断∠1＜∠2。与之相同，我们还可将∠2和∠3所在的两个直角三角形放在一起比较。这两个直角三角形竖直的直角边长度相等，而水平直角边长不等，所以可以得出结论，∠2＞∠3。接下来还有哪些角可以比较？仔细观察后我们会发现∠1和∠4所在的两个直角三角形中虽然没有相等的直角边，但是它们满足两边对应成比例，且夹角相等，所以这两个三角形相似，也就得到了∠1 = ∠4。看看我们得出的结论，要想将这四个角按大小有序排列，现在关键就是弄清∠1和∠3之间的大小关系。它们所在的这两个三角形既没有相等的直角边，也不相似，我们又该如何比较呢？请同学们再思考一下。

　　师：下面我们就一起来解决这个问题。解决的思路主要是通过构造辅助图形，将两三角形没有相等的边转化为有一条相等的边来解决问题。首先我们可以在右边的直角三角形水平直角边上截取AC = 8，然后过点C作BC⊥AC，这样我们就得到了一个与原三角形相似的直角三角形。通过相似比的计算，可求得BC = 4.8。这时直角三角形ABC和∠1所在的直角三角形，它们的水平直角边相等，而竖直直角边分别是4和4.8。因为4＜4.8，所以我们可以得出结论，∠1＜∠3。按照这个思路，同学们觉得还可以怎样操作来比较∠1和∠3的大小呢？请大家试着再画一画。

　　生：还可以通过相似来放大∠1所在的三角形，让它的一条直角边长为10。利用相似比计算，求出另一条直角边长为5。这样在水平直角边长相等的情况下，比较两条竖直的直角边长度，因为5＜6，也可以判断出∠1＜∠3。

　　师：最后综合我们之前的结论，就可以得到∠1＜∠3＜∠2，并且∠1 = ∠4。尽管得到了答案，还是让我们回到一开始的问题。再请同学们思考一下，当你经历过比较∠1和∠3的过程后，能给你带来什么样的启示呢？你现在对解决这个问题又会有什么新的想法吗？

　　生：当两个直角三角形没有相等的直角边时，可以通过构造相似三角形来进行转化。

　　师：我们不妨在每个三角形当中都截取相同长度的水平边，这里我们以取一个单位长度为例，分别做出4个三角形的相似三角形。接下来就利用相似比求出每个相似三角形竖直直角边的长度，根据它们的大小就可以判断出倾斜角的大小。在计算竖直边的长度时，我们还可以发现它的结果就是原三角形的两条直角边的比值。而这个比值越大，倾斜角就越大。这样一来我们就总结出一个结论，倾斜角的大小可以用两条直角边的比来描述。接下来我们看活动三，如果锐角A的大小确定，我们可以做出无数个以A为一个锐角的直角三角形。问题一，在图中这个等式成立吗？

　　生：等式是成立的。

　　师：为什么呢？

　　生：根据题意，可知这些直角三角形都是相似的。由相似三角形的性质可以得到它们的对应边成比例。同时利用比例的基本性质可以转化得到这个等式。

　　师：问题二，当∠A变化时，上面等式仍然成立吗？