师：同学们好，今天我们学习的课题是7.3特殊角的三角函数。经过前面几节课的学习，我们已经了解了锐角的正弦、余弦、正切的概念，它反映了直角三角形中边角之间的关系。也就是说，无论直角三角形大小如何，只要给定锐角α，那么角α的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比就随之确定。利用这一关系，结合勾股定理等知识，我们就可以求特殊角的正弦值、余弦值和正切值。

　　师：请看问题一，如图，两块三角尺中有几个不同的锐角？求这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值。我们可以看到，两块三角尺中共有三个不同的锐角，分别是30度、45度和60度。我们可以把这两块三角尺抽象成两个直角三角形，那么在这两个直角三角形中，如何运用我们所学知识，求这几个角的正弦值、余弦值和正切值呢？请同学们思考这个问题，并尝试解决，将结果填写在学习单上的表格中。

　　师：我们知道，无论直角三角形大小如何，只要给定锐角α，角α的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比就随之确定。为了方便运算，我们不妨设每个直角三角形中较短的边长为1。利用勾股定理和锐角三角函数的定义，就可以求出这些锐角三角函数值。下面我们一起来看。

　　师：在等腰直角三角形中，两直角边长均为1，利用勾股定理计算可得斜边长为$\sqrt{2}$。利用锐角三角函数的定义，可以求出$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45^{\circ}=1$。在有30度和60度角的直角三角形中，30度所对的直角边长为1，利用“在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半”，可以求出斜边长为2，再利用勾股定理计算，可得60度所对的直角边长为$\sqrt{3}$。利用锐角三角函数的定义，可以求出$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，以及$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。

　　师：接下来，请同学们观察表格，讨论表中的各个函数值有什么样的特征。请同学们思考这个问题，并将你所发现的特征写在学习单上。让我们一起来观察一下这个表格，你发现了哪些特征呢？我们先分析横向特征。第一行，30度、45度、60度的正弦值分母都是2，分子从小到大分别为$\sqrt{1}$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$。随着角度的增大，正弦值在逐渐增大。第二行，30度、45度、60度的余弦值分母都是2，分子从大到小分别为$\sqrt{3}$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{1}$，随着角度的增大，余弦值在逐渐减小。

　　师：第三行，观察30度、45度、60度的正切值，随着角度的增大，正切值在逐渐增大，其中45度角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以$\tan45^{\circ}=1$，这个值比较特殊。进一步观察，我们还能发现$\tan30^{\circ}$和$\tan60^{\circ}$互为倒数，因为在直角三角形中，若一个锐角确定，那么这个角的对边和邻边之间的比值也随之确定，即因为$\tan\alpha=\frac{a}{b}$，$\tan\beta=\frac{b}{a}$，所以$\tan\alpha=\frac{1}{\tan\beta}$。用文字语言可以描述为：互余的两个锐角的正切值互为倒数。

　　师：类似的，观察第一行和第二行，我们还能发现$\sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}$，$\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}$，$\sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}$。因为在直角三角形中，若一个锐角确定，那么这个角的对边、邻边和斜边之间的比值也随之确定，即$\sin\alpha=\frac{a}{c}$，$\cos\alpha=\frac{b}{c}$，$\sin\beta=\frac{b}{c}$，$\cos\beta=\frac{a}{c}$。也就是说，任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值。要熟练掌握三个特殊角的三角函数值，关键是熟悉这两个特殊的直角三角形。由于这两个直角三角形的边除了符合勾股定理以外，还有特殊的数量关系，所以我们可以求得它们锐角的三角函数值。

　　师：通过探究表格中数据之间的特征，方便我们在理解的基础上记忆。让我们来复习一下：$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$；$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45^{\circ}=1$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。给同学们一点时间理解记忆一下表格内容，接下来我们一起来看几道例题。

　　师：例一，求下列各式的值：（1）$2\sin30^{\circ}-\cos45^{\circ}$；（2）$2\sin60^{\circ}\times\cos60^{\circ}$；（3）$\tan30^{\circ}+\cos30^{\circ}$；（4）$\sin^{2}60^{\circ}+\cos^{2}60^{\circ}$；（5）$\frac{\cos45^{\circ}}{\sin45^{\circ}}-\tan45^{\circ}$。请同学们思考一下这个问题，我们一起来分析。求这些式子的值，需要将三角函数值代入算式进行计算，在代入过程中要将点乘改写成叉乘。完整的解答过程如下：

　　师：解（1）$2\sin30^{\circ}-\cos45^{\circ}=2\times\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。

　　师：（2）$2\sin60^{\circ}\times\cos60^{\circ}=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

　　师：（3）$\tan30^{\circ}+\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$。