师：同学们好。今天我们学习的课题是7.5解直角三角形。经过前几节课的学习，我们了解了锐角的正弦、余弦、正切概念，会求特殊角的三角函数值，也能由三角函数值求锐角。今天，我们就利用这些知识，进一步研究解直角三角形的问题。

　　首先，什么是解直角三角形呢？一般在直角三角形中，除直角外共有5个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素求出其余各元素的过程，就叫做解直角三角形。那么在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有怎样的关系呢？大家思考一下。

　　除直角外还有两个锐角、两条直角边和一条斜边。从边上看，根据勾股定理，有(a2 + b2 = c2)；从角上看，根据直角三角形两个锐角互余，有(∠A + ∠B = 90°)；从边角之间的关系上来看，根据三角函数的定义，有(\sin A = \frac{a}{c})，(\cos A = \frac{b}{c})，(\tan A = \frac{a}{b})，(\sin B = \frac{b}{c})，(\cos B = \frac{a}{c})，(\tan B = \frac{b}{a})。

　　现在请同学们思考，知道这5个元素中的几个，就可以求其余元素呢？我们不妨从一个元素出发，如果已知一个锐角或一条边，可以求其余元素吗？大家尝试做做看。

　　相信同学们都有了自己的思考，我们一起来分析。如果仅仅知道一个锐角，此时缺少边的条件，是无法求出各边长度的。通过动画展示，能更直观地感受到直角三角形的大小不能确定，自然不可求解。那如果只知道一边，比如已知(BC)边的长度，此时缺少角的条件，无法求出其余各边和两个锐角的大小，直角三角形仍然不可解。

　　已知一个元素我们已经讨论完了，发现不行。那么如果已知两个元素可不可以呢？我们再尝试做做看。

　　一起来分析一下，已知两个元素会出现多种情况，我们对这个问题进行分类讨论，分为已知两角、已知两边和已知一角一边。

　　如果已知两角，就等价于已知一个锐角的大小，这个问题我们已经讨论过了，发现不行。

　　如果已知两边，需要进一步分类，分为已知两直角边和已知一直角边一斜边。

　　我们先来分析已知两直角边的情况。利用勾股定理，首先可以求解出斜边(c)的长度，(c = \sqrt{a2 + b2})，再利用正切可以求得(∠A)和(∠B)的度数，即(\tan A = \frac{a}{b})，(\tan B = \frac{b}{a})。类似的，如果已知一直角边一斜边，我们可以根据勾股定理求得另一条直角边长(b = \sqrt{c2 - a2})，再利用(∠A)的正弦值和(∠B)的余弦值求得(∠A)、(∠B)的度数，(\sin A = \frac{a}{c})，(\cos B = \frac{a}{c})。

　　我们再来分析已知一角一边的情况。已知一角一边可以分为已知一角一直角边和一角一斜边两种情况，其中已知一角一直角边根据直角三角形中锐角与直角边之间的位置关系，又可以分为下面两种情况。

　　我们先来看第一种情况，如果已知(∠B)的大小和边(BC)的长度，利用直角三角形两个锐角互余，我们可以求得(∠A)的度数，即(∠A = 90° - ∠B)。已知(∠B)的邻直角边和(∠B)的大小，利用三角函数的定义求出(AC)长度，即(c = \frac{a}{\cos B})，(b = a \times \tan B)。类似的，如果已知(∠B)和(∠B)的对边，我们也可以求出(∠A)和斜边(c)以及另一条直角边(a)的长度，即(∠A = 90° - ∠B)，(c = \frac{b}{\sin B})，(a = \frac{b}{\tan B})。

　　最后我们来看已知一角一斜边的情况，如果已知(∠B)的度数和斜边(c)，同样也可以利用直角三角形的两个锐角互余求得(∠A)的度数，再利用(∠B)的正弦和余弦值求得(AB)的长度，即(a = c \times \cos B)，(b = c \times \sin B)。

　　综上，如果一个直角三角形可解，可以分为以上四种情况，这四种情况其实就是判断两直角三角形全等的条件，也就是说一个直角三角形可由5个元素中的两个，其中至少有一个是边来唯一确定，此时直角三角形是可解的。下面我们一起来看几个例题。

　　例一，在直角三角形(ABC)中，(∠C = 90°)。根据下列条件解直角三角形：（1）(∠A = 30°)，(a = 5)；（2）(a = 104)，(b = 20.49)（结果保留小数点后两位）。请同学们思考一下这个问题，我们一起来分析。

　　例一的第一小题，本道题没有配图，为方便理解题意，我们先根据题意画出草图。由题可知，(∠A = 30°)，(a = 5)，这是已知一角和一直角边的情况。通过前面的分析，我们知道此时直角三角形是可解的。那么要解这个直角三角形就要求出(∠B)的度数和边(BC)的长度。利用直角三角形两个锐角互余，我们很容易得到(∠B)的度数。再通过观察条件，我们发现已知(∠A)的对边，要求(∠A)的邻边，可以利用正切进行求解。