师：同学们，今天我们学习的课题是7.5解直角三角形。上节课我们学习了解直角三角形的概念，现在先通过几个具体问题复习一下。什么叫做解直角三角形呢？一般在直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素求出其余各元素的过程，就叫做解直角三角形。请同学们独立完成下面这道题的三小问，之后我们一起核对。在直角三角形ABC中，∠C = 90° ，根据条件解下列直角三角形：

　　（1）∠A = 30°，a = 2；

　　（2）∠B = 45°，c = 6；

　　（3）c = 10，a = 5。

　　第一问，要先根据直角三角形两个锐角互余求出∠B的度数，即∠B = 90° - ∠A = 60°。因为已知∠A和∠A的对边a的长度，利用正切和正弦分别求出另一条直角边b和斜边长c。即因为tanA = a / b，所以b = a / tanA = 2 / (√3 / 3) = 2√3。因为sinA = a / c，所以c = a / sinA = 2 / (1 / 2) = 4。

　　第二小问，类似地，我们也可以利用直角三角形两个锐角互余，求出∠A的度数。∠A = 90° - ∠B = 45°。因为已知斜边长c的长度，利用正弦和余弦求出两条直角边的长度。即因为sinB = b / c，所以b = c × sinB = 6 × √2 / 2 = 3√2。因为cosB = a / c，所以a = c × cosB = 6 × √2 / 2 = 3√2。

　　再看第三小问，已知一直角边和一斜边，利用勾股定理，首先我们可以求解出另一条直角边长。此时三角形的三边长都已知，我们可以利用直角边a和斜边c求出∠A的正弦值，从而求解出∠A的度数，再利用直角三角形两个锐角互余，求解出∠B的度数。即在直角三角形ABC中，根据勾股定理得b = √(c2 - a2) = √(102 - 52) = 5√3。由题已知，sinA = a / c = 1 / 2，所以∠A = 30°，所以∠B = 90° - ∠A = 60°。

　　请同学们再思考一下，直角三角形可解的条件是什么呢？我们可以一一列举：已知一个锐角和斜边，已知一个锐角和直角边，已知两直角边，已知一直角边和斜边，一共4种情况。这些组合可以判断两直角三角形全等。也就是说，一个直角三角形可由5个元素中的两个，其中至少有一个是边来唯一确定，此时直角三角形是可解的。在前一节课的基础上，我们进一步深入研究。下面看活动。

　　师：如图，在等边三角形ABC中，AB = AC = BC = 8，CD⊥AB，垂足为D。求CD。请同学们思考一下这道题，我们一起来分析。通过条件可知，三角形ABC是等边三角形，AB = AC = BC = 8。我们知道等边三角形的三个内角都是60°，要求CD就要将CD放到直角三角形中，我们发现CD是直角三角形ACD的一边，且直角三角形ACD已知一锐角和一斜边，满足可解的条件，利用正弦可以求出CD的长。我们一起来看下完整的解答过程。

　　解：因为三角形ABC是等边三角形，所以∠A = ∠B = ∠ACB = 60°。又因为CD⊥AB，所以∠ADC = 90°。在直角三角形ADC中，CD = AC × sinA = 8 × sin60° = 8 × √3 / 2 = 4√3。

　　师：我们再来看第二小问，如图，三角形ABC是等腰三角形，AC = BC = 8，∠A = 30°，求AB。请同学们思考一下这道题该如何求解，我们一起来分析。通过分析题目条件可知，三角形ABC是等腰三角形，AC = BC = 8，∠A = ∠B = 30°。因为三角形ABC不是直角三角形，我们需要设法构造直角三角形。由上题的经验，我们不妨作边AB的高线，即过点C作CD⊥AB，垂足为点D。此时根据等腰三角形三线合一，将AB分成AD和BD两部分，同时在直角三角形ACD中求解AD，进而求出AB。我们一起来看一下完整的解答过程。

　　解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D。在直角三角形ADC中，AD = AC × cosA = 8 × cos30° = 8 × √3 / 2 = 4√3。又因为AC = BC，CD⊥AB，所以AB = 2AD = 2 × 4√3 = 8√3。

　　师：请同学们再思考一下，本道题还有哪些方法可以求出AB？请同学们尝试着做。这道题关键是将等腰三角形转化为直角三角形。上一种构造方法是将AB分成了AD和BD两部分，间接求出AB的长度。那么能否直接求出AB的长呢？我们不妨可以作BC边上的高线，即过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，此时形成两个直角三角形ABE和直角三角形AEC。其中直角三角形AEC已知边AC的长度和∠ACE的度数，是可解的。通过解直角三角形AEC可以求出AE的长为4√3，从而使得直角三角形AEB可解，进而可以求出AB的长等于8√3。

　　师：我们再来看第三小问，如图，在三角形ABC中，AC = 8，∠A = 30°，∠B = 45°，求AB。请同学们思考一下本道题该如何求解？

　　我们一起来分析，通过条件可知，AC = 8，∠A = 30°，∠B = 45°。因为三角形ABC不是直角三角形，要求AB同样需要设法构造直角三角形。我们可以过点C作CD⊥AB，将三角形ABC分成两个直角三角形，即直角三角形ADC和直角三角形BDC。其中直角三角形ADC有一边有一角是可解的，我们可以求出AD和CD的长。直角三角形BDC通过解直角三角形ADC提供的边CD的长度以及∠B的大小，可以求出BD的长，从而求解得到AB的长。我们一起来看一下完整的解答过程。