师：同学们好，今天我们学习的课题是7.6用锐角三角函数解决问题。在前几节课中，我们已经掌握了锐角三角函数的相关知识，也学会了解直角三角形。数学知识源于生活又服务于生活，那用锐角三角函数能解决哪些生活中的问题呢？今天，我们就跟着小明一起去游乐场，看看一路上如何邂逅三角函数。请同学们看第一个问题：小明从家出发，路过一个横截面为等腰梯形的过街天桥，已知天桥高5米，斜面坡角为37度，求斜坡AB的长度。这是个实际问题，我们从数学角度出发，将其转化为数学问题。首先，在实际情境中抽象出几何图形，画出等腰梯形；接着，把题意中的条件和问题数学化，天桥高5米，即等腰梯形的高为5米，斜面坡角为37度。这里出现个新名词“坡角”，坡面与水平面的夹角叫做坡角。在本题中，任选一个斜坡AB与AD的夹角∠A，即为斜坡AB的坡角，是37度。最后提出的问题是求AB的长，这样就成功转化成数学问题了。这个问题该如何解决呢？大家一起来思考。

　　面对几何问题，我们先分清题目中的已知和未知。为便于分析，请同学们在图形上标注出已知条件和要求的内容。梯形的高为5米，过点B作BE垂直AD，垂足为E，即BE为5米，∠A为37度，要求的AB打个问号。梳理完已知和未知，现在寻找已知与未知之间的关系。BE、∠A还有AB，观察图形，同学们很快发现这三个元素在同一个直角三角形里。这时就容易联想到三角函数。在直角三角形ABE中，已知边BE和角∠A，前面解直角三角形的学习中，我们明确知道已知一边一角就能解出所有元素，那现在该选哪种三角函数来求解AB呢？根据这三个元素边角之间的位置关系，我们应选择角∠A的正弦。

　　解题思路清晰了，下面一起来规范解答。先描述辅助线，并根据题意将已知条件用数学符号语言表述出来，再选择适当的三角函数。本题选正弦值，用解直角三角形的规范过程求出未知量，最后回归实际问题的答案，别忘记答。这样就解决了这个实际问题。

　　回顾求解过程，同学们有什么收获呢？不难发现，根据已知与未知的数量关系，找出或构造直角三角形，就能利用锐角三角函数知识解决问题。在这个问题情境中，还能进一步提出哪些新问题呢？同学们先自己想一想，老师想了两个新问题，看看和你们想的是否一样。问题一：还能求出哪些线段的长呢？很显然，CD和AE的长，根据等腰梯形，易得CD等于AB。AE也在直角三角形ABE中，把sin∠A换成什么呢？换成tan∠A即可求出AE。问题二：若要知道桥底AD的宽度，还需要添加什么条件呢？这也是常见的提问方式，根据要知道的结论倒推需要给出的条件。请同学们思考一会，相信大家已经有答案了。AD是梯形的底边，不在一个直角三角形里，无法直接解出。这时重要的数学思想——转化思想，指引我们思考，可以将AD转化。不妨再过点C做CF垂直AD，这样AD就可以转化成AE、DF还有EF这三者之和。接下来逐一求出这三条线段即可。由等腰梯形易证三角形CDF和BAE全等，所以DF就等于AE，现在就只剩下EF了。在这个图形中，除了两个直角三角形，还能得到一个矩形EFCB，从而EF就等于BC。那么要知道EF，就是要知道CB的长，同学们有答案了吗？回归实际，我们需要添加桥面的宽度。

　　接下来把这个问题的条件变一变，红色字体就是变化的部分，由坡角变成了坡度。在生活中，除了坡角，坡度也能刻画斜坡的陡峭程度。什么是坡度呢？坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度或坡比，记作i，i等于tanα，α为坡角。这里坡面的铅垂宽度任选坡面AB，即BE，水平宽度即AE。那么坡度就是BE与AE的比，即角∠A的正切。这样就得到一个新的数学问题，数学问题中如果条件发生变化，之前的思路过程会变化吗？首先，没了坡角就不能自由选择三角函数了，只能从坡度正切出发，由角∠A的正切可以得到AE的长，再结合勾股定理，就能得到AB的长。由此启发，在解直角三角形的问题中，常常还需要联合勾股定理一起解决。

　　在经历了和三角函数的天桥相会后，带着刚刚的收获，我们再一起来看看例一。如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30度，背水坡AD的坡度i为1∶1.2，坝顶DC等于2.5米，坝高4.5米。求：一、背水AD的坡角；二、坝底AB的长度。这是个实际问题，同样需要转化成数学问题。先看题目中给出的抽象图形，一个梯形ABCD，把条件和问题数学化并标注在图上。迎水坡BC的坡角为30度，即∠B为30度；背水坡AD的坡度i为1∶1.2，即tan∠A等于1∶1.2；坝顶DC等于2.5米，梯形的上底为2.5米；坝高4.5米，过点C作CE垂直AB，垂足为E，则CE即为梯形的高4.5米。要求的是什么呢？背水AD的坡角，即∠A的度数，坝底AB的长。我们来一起分析这个数学问题。先看第一小问，要求∠A的度数，已知∠B的度数为30度，能由∠B得到∠A的度数吗？显然不行。那还可以从哪条路获得∠A的度数呢？之前我们知道锐角三角函数值随锐角大小的确定而唯一确定，所以可以由锐角三角函数值借助计算机求得对应锐角的大小。在这个问题中，可以由∠A的正切得到∠A的大小，规范解答。由于∠A不是特殊角，需要用计算机计算，∠A约等于39.8度。