师：同学们，今天我们学习的课题是7.6用锐角三角函数解决问题。现在，我们再和小明一起坐一坐热气球，看看又会带来哪些有趣的问题。先看问题一，小明在游乐场某处利用测角仪观测热气球的仰角为27度，然后他沿着正对气球的方向前进了50米，此时观测气球的仰角为40度。如果测角仪的高度为1米，那么气球的高度是多少呢？我们先来抽象图形，请同学们在学习单上跟着老师一起画一画。

　　我们把地面抽象为一条直线，在直线上任取一点作为某处，再画出热气球的位置，即点C。这里有个新名词“仰角”，我们来认识一下仰角的定义：从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的夹角。相对的还有俯角，从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角。看左面这幅图，大家就能清楚明白什么是仰角和俯角了。在这个问题中，我们需要画出水平线和视线，从而标注出仰角。小明沿着正对气球的方向前进50米到达B处，我们再画出此时的仰角。那么要求的是什么呢？是气球的高度。

　　我们一起来梳理题目中的已知和未知。为了方便表达，过点A作AH垂直CD，垂足为H，由题意可知点B也在AH上。这时仰角可以表示为∠CAB = 27度，另一个仰角∠CBH = 40度，还有AB = EF = 50米，AE = BF = DH = 1米，要求的是CD的长。

　　同学们思考一下，已知和未知之间有什么联系呢？同学们有想法了吗？这个图形看上去有点复杂，在分析问题之前，我们先思考两个问题。第一个问题，CD需要转化吗？如何转化？观察图形，CD = CH + HD，而DH = 1米，那么问题就转变成只要求CH就可以了。随之第二个问题出现了，CH与哪些已知量有关呢？请同学们观察图形想一想。我们不难发现CH同时存在于两个直角三角形当中，可惜这两个直角三角形都只已知一个角，无法直接解出CH，但是我们可以根据已知角的三角函数得到三边关系。例如在直角三角形CBH中，我们可以根据已知角∠CBH得到CH和BH的关系；同样在直角三角形CAH中，我们可以根据已知角∠CAH的三角函数得到CH与AH的关系。那为什么要选择CH与BH以及AH的关系呢？大家观察图形，会发现AH和BH与已知量联系紧密，我们能找到它们与AB之间的数量关系。

　　带着这两个思考，我们再来分析。先从三角形CAH出发，利用tan27度 = CH / AH，从而得到用CH来表示AH；同样在直角三角形CBH中，利用tan40度 = CH / BH，从而得到用CH来表示BH，而AH - BH = AB。这里我们只要设CH为x，即可得到一个方程，从而求解出CH。在这个思路过程中，我们是从已知条件出发，不断推向未知，这种思维方法是由因导果。

　　解决这个问题后，我们回顾一下整个分析过程。在这个问题图形中出现了两个直角三角形，而且都无法直接解出，但两者之间有一个公共边。这时我们可以选择设这条公共边为x，再利用已知角的三角函数找到边与边之间的关系，用x表示出其他未知边，最后利用图形中存在的线段之间的等量关系建立方程求解。

　　当然这道题也有其他解法，选择的未知数不同，建立的方程也就不同，同学们课后可以尝试一下，然后互相交流对比，看看谁建的方程更方便解答。下面我们一起来看一下这个方法的具体解答。首先描述辅助线，交代已知条件并设出未知数；然后利用三角函数分别用x表示出其他的未知边；接着再根据数量关系建立方程。大致分为三段：选择合适的未知数，利用三角函数表示其他的未知量，根据线段的数量关系建立方程求解。

　　小明发现用测仰角的方式就能得到热气球的高度，于是他登上热气球后，又尝试用同样的方式去测量大楼的高度。请看变式：小明乘坐热气球到达100米高处时，从热气球探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为45度，看这栋楼底部的俯角为30度，求这个高楼的高度。我们同样要先抽象图形，相信同学们现在已经能画得很快了。

　　点A即小明到达100米高处的位置，从热气球显示看一栋高楼的顶部仰角为45度，即从点A处看点D的仰角为45度；看这栋楼底部的俯角为30度，即从点A看点C俯角为30度，求这个高楼的高度，即CD的长。

　　同学们先思考一会，我们发现CD在一个一般三角形里，根据之前解一般三角形的经验，大家会怎么做呢？对，我们可以化斜为直，将一般三角形转化为直角三角形。我们可以过点A做AH垂直CD，垂足为H，这时BD就可以分解成CH和HD了，而CH = AB = 100米。那么问题就转变成如何去求DH。我们发现DH在直角三角形ADH中，我们可以根据tan45度 = DH / AH，从而得到DH = AH × tan45度，那么我们就需要把AH的值找到。进一步观察，AH在直角三角形AHC中，而AHC中我们已知一角和一边，即可解出AH。我们可以利用tan30度 = CH / AH，从而解得AH，得到DH，进而得到CD的长。这样我们的思路就打通了。在这个思路过程中，我们是从待求的结论出发，逐步靠拢已知条件，这种思维方法是执果索因。下面我们来看一下具体解答。

　　在这个问题中我们不需要建立方程，可以直接求解，但依然要写出规范的过程，最后精确到1米。小明的测高实验再次成功了，可见在生活中测量高大的建筑物本来很困难，但是有了三角函数的帮忙，一切都变得简单了。数学知识就是这么奇妙，我们可以用锐角三角函数知识解决测高问题。