师：同学们，今天我们一起学习8.2事件的概率。上节课我们分享了事件和概率，今天从这个问题开始：在一个不透明口袋里装有标着数字1、2、3的三个小球，这些球除颜色外无其他差别。充分搅匀后，随机摸出一个球，摸到球的编号是奇数的概率是多少？

　　因为小球完全一样，搅匀后摸出每一个球的可能性相同，试验结果具有等可能性。摸出一个球所有等可能的结果共有三种，每一种结果占总结果数的1/3 。其中球的编号是奇数的结果有两种。将摸出球的编号为奇数记为事件a，那么事件a发生的概率就是2/3。

　　如果我们随机摸出一个球，其编号作为一个两位数十位上的数字不放回，再摸出一个球的编号作为该两位数个位上的数字，组成的数恰好是32的概率是多少呢？

　　因为这个试验的所有结果具有等可能性，所以可以采用列举法，利用公式计算概率。与前面不同，这个试验包含两步，第一步是摸出十位上的数字，第二步是摸出个位上的数字。那能组成哪些两位数呢？

　　我们可以直接列出所有可能的两位数。由于题目强调不放回，所以结果依次为12、13、21、23、31、32。以上共有6种等可能的结果，其中恰好为32，记为事件a ，它发生只有一种可能，所以事件a的概率为1/6。

　　我们同样可以利用树状图枚举出所有可能的结果。开始，先确定十位数字可以为1、2、3 。再确定个位数字，由于不放回，十位数字为1时，个位数字为2或者3，再依次确定十位数字为2和3时的个位数字，得到所有可能出现的结果，这里要把所有的结果数都列出来，最后求得概率。事实上，树状图是枚举法的一种表达形式，我们也可以通过列表格的方式列举出所有可能的结果。竖列是十位数字，横行是个位数字，按序组合。注意，摸球试验中不放回模型表格的对角线是空的。下面求解概率即可。无论是哪一种方法，一定要注意写出共有6种等可能的结果，注意这个“等”字不能丢。

　　回顾一下刚刚的树状图和表格，我们可以看出，当试验分为两步，并且所有等可能出现的结果数较少时，运用树状图和列表法求解都比较有效。当然，直接列出所有的结果也是可以的。

　　如果老师将这里的摸球改为放回呢？

　　我们同样可以直接列出所有结果。注意，因为放回，所以个位和十位数字可以重复，多了11、22、33。这样共有9种等可能的结果，组成的两位数恰好为32，记为事件a 。它发生只有一种可能，所以事件a的概率为1/9。同样，我们仍然可以用树状图和列表格的方式求出所有等可能的结果。这里要注意，在放回的摸球试验中，表格的对角线上是有内容的。在列举过程中，我们发现当试验分为两步，并且所有等可能出现的结果数较多时，运用表格会比较清晰便捷。

　　好，我们现在加大难度，现在改为有放回的摸三次球组成一个三位数，摸出的三位数恰好是321的概率是多少呢？

　　该试验要摸出一个三位数，所以试验分三步。很明显此时表格具有局限性，它比较容易体现两步试验的结果。因此这里要选用树状图。前两步和前面是一样的。第三步在前面列出的每一种情况下，又各自生长出3种情况，也就是9乘以3共27种等可能的结果，其中恰好是321的数只有一种，所以可得概率为1/27。同样这里我们依然可以直接列出所有等可能的结果，由于试验步数较多，直接列出很容易出错，所以要按序细心罗列。反思一下，当试验分为三步时，一般利用树状图列出所有等可能出现的结果。此时若用表格求解，则会得到一个三维的立体表格，在二维平面上表示起来会比较困难。

　　老师再次加大难度，如果按上述方法摸四次球组成一个四位数，恰好是3213的概率是多少呢？

　　我们知道，要求事件发生的概率，只要确定分子和分母即可。我们先来回顾一下前面画的树状图，看看能否寻找出一些确定分子分母的规律。从开始起确定百位上的数字时有三种可能，1、2、3，再确定十位数字。事实上，十位数字就是在百位数字的三种可能的基础上，又各自生长出3种，这时共有9种。确定个位数字时，前面9种又各自生长出3种，共得到27种等可能的结果。

　　由前面列树状图的经验我们可以看出，当试验多一步时，前面的每一类就会生长出三种可能。这样第一步是三种，第二步各生长出三种，即3×3种。第三步又各生长出3种，即3×3×3种。所以第四步就会在第三步27种的基础上各生长出3种可能，此时就有27×3种，即3×3×3×3种等可能的结果。所以分母实则是3的n次方，n指试验步数。