师：今天我们学习的课题是 8.4 抽签方法合理吗？生活中，我们有时会用抽签的方法来决定某件事情。大家想一想，哪些事情会用抽签来决定呢？比如说足球比赛前，裁判员会抛掷一枚硬币，让双方队长猜硬币落地后是正面朝上还是反面朝上，猜对的一方先开球，另一方后开球；参加演讲比赛，每名选手上台比赛的顺序，一般也采取抓阄的方式决定。这样的例子很常见，那这样的抽签方式合理吗？怎样解释抽签合理呢？这就是我们今天要研究的内容。大家来看这个熟悉的例子。

　　活动一：用抽签的方法从三名同学中选一名出席某场音乐会。先准备三张相同的纸条，在其中一张纸条上画上记号，把它们放在一个盒子中搅匀，然后让这三名同学先后从中各抽取一张纸条，抽出的纸条不放回，抽到画有记号纸条的学生将出席这场音乐会。注意游戏规则是抽出的纸条不放回。

　　问题一：抽签有先有后，这种抽签方法合理吗？有同学说先抽的人中签可能性大，后抽的人可能吃亏，如果先抽的人没抽中，后抽的人中签可能性不就大了吗？其实，抽签是否合理，主要看先抽和后抽的人中签概率是否一样。本题中先抽和后抽的人中签概率一样吗？能否求出这个概率呢？

　　问题二：请同学们求出三名同学中签的概率。

　　假设甲乙丙三名同学抽签顺序依次为甲第一、乙第二、丙第三，三张纸条中画有记号的纸条记作 a，其余两张纸条分别记作 B1 和 B2 。我们画树状图，第一次甲抽取，抽取的可能性分别是 a、B1 和 B2 。第二次由乙抽取，若甲抽到 a，乙可以抽到 B1 和 B2；甲抽到 B1 ，乙可以抽到 a 和 B2；甲抽到 B2 纸条时，乙抽到的可能性是 B1 和 a 。第三次由丙抽取，至此我们得到所有可能出现的结果：a、B1、B2 ；a、B2、B1 ；B1、a、B2 ；B1、B2、a ；B2、a、B1 ；B2、B1、a 。

　　从树状图可看出，甲乙丙依次抽签一共有 6 种可能出现的结果，且它们是等可能的。满足甲中签的结果有两种：a、B1、B2 和 a、B2、B1 ，所以甲中签的概率是 2/6，即 1/3 。大家想一想，乙中签的结果有几种呢？不难发现也是两种：B1、a、B2 和 B2、a、B1 ，因此乙中签的概率也等于 1/3 。丙中签的结果同样有两种：B1、B2、a 和 B2、B1、a ，所以丙中签的概率等于 2/6，即 1/3 。从刚才分析来看，虽然抽签有先有后，但先抽到和后抽到的人中签概率相同，所以这样的抽签方法是合理的。

　　判断抽签方法是否合理，只需计算其概率是否相同。

　　游戏公平吗？下面看活动二。小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字 1、2、3、4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同，从中随机摸出一个球，记下数字后放回并搅匀，再从中随机摸出一个球，记下数字。若第一次的数字与第二次的数字的差小于 1，则小明获胜，否则小刚获胜。注意游戏规则是摸出球记下数字后要放回再搅匀。

　　问题一：你能列举出所有可能的结果吗？我们给出表格，当第一次摸出的球数字分别为 1、2、3、4 时，因为是放回，第二次摸出的数字依然是 1、2、3、4 ，所以得到 16 个结果：11、12、13、14、21、22、23、24、31、32、33、34、41、42、43、44 。共有 16 种可能出现的结果，它们是等可能的。其中第一次数字与第二次数字的差小于 1 的情况有：11、12、22、23、33、34、44 ，共 10 种，所以小明获胜的概率等于 10/16，即 5/8 。剩下的情况就是差不小于 1 的，小刚获胜的概率就变成了 6/16，即 3/8 。因为 5/8 不等于 3/8 ，所以这个游戏对两人不公平。

　　问题二：既然游戏对两人不公平，能否设计一个方案让游戏公平呢？大家思考一下，能否改变摸球规则？

　　方案一：改变游戏规则，将分别标有数字 1、2、3、4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同。从中随机摸出一个球，记下数字后不放回，再从中随机摸出一个球，记下数字。如果第一次的数字与第二次的数字的差小于 1 ，那么小明获胜，否则小刚获胜。这个游戏对两人公平吗？说明理由。

　　我们画树状图，第一次摸到的结果分别是 1、2、3、4 四种可能。第二次由于是不放回，当第一次摸到数字 1 的球，第二次有三种情况：2、3、4 ；第一次摸到数字 2 ，第二次是 1、3、4 ；依此类推，第一次摸到 3 ，第二次是 1、2、4 ；第一次摸到 4 ，第二次是 1、2、3 。列出所有可能出现的结果：12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43 。共有 12 种可能出现的结果，它们是等可能的。其中第一次数字与第二次数字的差小于 1 的情况有 12、13、14、23、24、34 ，总共 6 种，所以小明获胜的概率是 6/12，即 1/2 ，小刚获胜的概率也是 6/12，即 1/2 。因为 1/2 等于 1/2 ，所以此时两人获胜概率相同，这个游戏对两人就是公平的。

　　方案二：改变游戏规则，将分别标有数字 1、2、3、4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同。从中随机摸出一个球，记下数字后放回并搅匀。注意这里又改成放回了。从中随机摸出一个球，记下数字，若两个数字的和或者差为奇数，那么小明获胜，否则小刚获胜。此刻这个游戏对两人公平吗？我们计算概率。