师：同学们，今天我们学习的课题是 8.5 概率，帮你做估计。我们先来看一个熟悉的问题，任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 1/2 。许多科学家曾做过成千上万次抛硬币实验，部分结果如下表一：

　　|实验者|抛掷次数 (n)|正面朝上次数 (m)|频率 (\frac{m}{n})|

　　| ---- | ---- | ---- | ---- |

　　|尼莫佛|2048 次|1061 次|0.518|

　　|德摩根|4040 次|2048 次|0.5069|

　　|费勤|10000 次|4979 次|0.4979|

　　|皮晓旭|12000 次|6019 次|0.5016|

　　|皮尔逊|24000 次|12012 次|0.5005|

　　我们把表一中抛掷的次数 (n) 与正面朝上的频率 (\frac{m}{n}) 用统计图表示，如图一。大家观察图一，会发现这个事件发生的频率在 1/2 附近摆动。请大家想一想，观察表一和图一，频率与概率有什么区别和联系，随着试验次数的增加，频率的变化趋势又是如何呢？我们知道，频率是频数与总次数的比值，概率是一个事件发生可能性大小的数值。从上面的试验可以看到，在相同条件下，当重复试验次数大量增加时，事件发生的频率就会稳定在相应的概率附近。因此，我们可以通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数的增多，摆动的幅度会减少，这就是频率的稳定性。

　　下面我们来看一个摸球活动。一个不透明的盒子中装有若干个红球、黄球和篮球，这些球除颜色外都相同。

　　摸球实验步骤如下：

　　两人一组，一人从盒中任意摸出一个球，另一个人记下颜色后将球放回并搅匀，然后继续摸球，每组连续做 99 次这样的实验。

　　汇总各组数据，填写下表。

　　第一组实验：

　　第一次摸球，摸到红球，记录红球个数为 1 ，放回搅匀；第二次摸球，摸到黄球，记录黄球个数为 1 ，放回搅匀；第三次摸球，摸到黄球，黄球个数记录为 2 ，放回搅匀；第四次摸球，摸到篮球，记录篮球个数为 1 ，放回搅匀；第五次摸球，摸到黄球，黄球个数记录为 3 ，如此重复上述摸球实验，并做好记录。经历 99 次摸球实验后，摸到红球 31 次，黄球 41 次，篮球 27 次。

　　第二组实验：

　　第一次摸球，摸到篮球，记录篮球个数为 1 ，放回搅匀；第二次摸球，摸到红球，记录红球个数为 1 ，放回搅匀，继续重复上述摸球活动。经历 99 次摸球后，摸到红球 34 次，黄球 39 次，篮球 26 次。

　　第三组实验：重复上述摸球实验，经历 99 次摸球，摸到红球 37 次，黄球 39 次，篮球 23 次。

　　第四组实验结果，摸到红球 37 次，黄球 33 次，篮球 29 次。

　　第五组试验结果，摸到红球 31 次，黄球 47 次，篮球 21 次。

　　第六组实验结果，摸到红球 33 次，黄球 40 次，篮球 26 次。

　　第七组实验结果，摸到红球 32 次，黄球 38 次，篮球 29 次。

　　第八组试验结果，摸到红球 40 次，黄球 38 次，篮球 21 次。

　　第九组试验结果，摸到红球 36 次，黄球 42 次，篮球 21 次。

　　第十组试验结果，摸到红球 33 次，黄球 42 次，篮球 24 次。

　　第十一组实验结果，摸到红球 33 次，黄球 38 次，篮球 28 次。

　　汇总上述 11 组数据，填写总表：

　　|球的颜色|频数|频率|

　　| ---- | ---- | ---- |

　　|红球|377 次|0.346|

　　|黄球|437 次|0.401|

　　|篮球|275 次|0.253|

　　师：你能根据刚才的试验结果估计盒中三种球的个数比吗？我们来看问题一，全班一共做了 1089 次这样的摸球实验，摸到篮球的频数为 275 ，已知盒中有篮球 6 个，你能估计盒中剩余球的个数吗？

　　生：在 1089 次摸球试验中，摸到篮球的频数是 275 ，可以求到摸到篮球的频率是 0.253 。当试验次数很大时，用频率作为概率的估计值，可以估计摸到篮球的概率为 0.253 。假设盒子之中剩余的球的个数为 (x) 个，那么盒中总共有的球的个数应该是 (x + 6) 个。从盒中任意摸出一个球是篮球的概率应该是 (\frac{6}{x + 6}) 。根据试验结果，(\frac{6}{x + 6} = 0.253) ，通过计算可以估计 (x\approx18) ，即盒中剩余球的个数应该是 18 个，那么篮球的个数是 6 个，盒子中总共有球 24 个。

　　师：问题二，全班一共做了 1089 次这样的摸球试验，摸到红球的频率是 0.346 ，你能估计盒中红球的个数吗？

　　生：假设盒中有红球 (y) 个，从盒中任意摸出一个球是红球的概率为 (\frac{y}{18 + 6}) 。已知摸到红球的频率是 0.346 ，用频率的稳定值作为概率的估计值，得到 (\frac{y}{18 + 6} = 0.346) ，可以求得盒中红球的个数约为 8 个。知道总球数是 24 个，篮球 6 个，红球 8 个，就能求出所有颜色球的个数及它们的比值。