师：同学们好，今天我们学习的课题是锐角三角函数的小结与思考。直角三角形是现实生活中的常见图形，与之相关的运算应用非常普遍。在这一章，我们学习了锐角的正弦、余弦、正切的概念。下面以问题为引领，对这一章的知识与思想方法进行梳理。

　　师：请看问题一，锐角三角函数是如何确定的？我们来看这幅图。利用相似三角形的知识可以证明，当角A确定时，角A的对边与斜边的比、角A的邻边与斜边的比、角A的对边与邻边的比都是确定的，从而定义了锐角的正弦、余弦和正切概念，即sin A等于角A的对边比斜边，cos A等于角A的邻边比斜边，tan A等于角A的对边比角A的邻边。角A的正弦、余弦、正切都是角A的锐角三角函数。下面请同学们利用锐角三角函数的概念完成填空。

　　师：大家做好了吗？这里要注意，计算锐角三角函数的前提是在直角三角形中。题目只给出了三角形的三条边长，由勾股定理的逆定理可知，三角形ABC是直角三角形，其中角C是直角，所以我们可以依次写出结果：sin A等于3/5，cos A等于4/5，cos B等于3/5，tan A等于3/4，tan B等于4/3。这里还有两个常用的结论，同学们还记得吗？一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或者说一个锐角的余弦等于它余角的正弦，用符号表示就是sin A等于cos（90度 - A）；另一个结论是互余两角的正切值互为倒数，用符号语言表示就是tan A乘以tan（90度 - A）等于1。掌握这些结论，能帮助我们有更多途径解决问题。下面我们一同看例一。

　　师：如图，在直角三角形ABC中，角ACB等于90度，CD是斜边AB上的高，AB等于5，AC等于3。求sin角BCD的值，你会怎么做呢？我们先从已知条件出发，结合图形可以看到图中有相似的三角形，直角三角形ABC、直角三角形BDC和直角三角形ADC都是相似的。另一方面，结合勾股定理，相似三角形中对应边成比例，我们可以求出图中很多线段的长度。

　　师：有了这样的认识，我们再来看看要求什么呢？要求sin角BCD，可以理解为在直角三角形BDC中，求BD比上BC，这两条线段的长度都是未知的。我们可以选择逐条求出，也可以利用相似做整体的代换。例如我们可以通过两角对应相等证得三角形BDC相似于三角形BCA，再根据对应线段成比例可得BD比上BC就等于BC比上AB。其中AB是已知的，BC的长度则可以由勾股定理求得。所以我们得到答案，sin角BCD等于4/5。我们还可以换个角度来考虑，因为锐角确定锐角的正弦值也确定，所以要求sin角BCD，我们也可以在图中找一个与角BCD相等的角，求出它的正弦值。依据同角的余角相等可知，角A就等于角BCD，那么sin角BCD等于sin角A等于BC比上AB等于4/5。这两种思路都是常见的求三角函数值的方法，同学们可以根据实际情景选择恰当的方法来解题。接下来请同学们算一算。

　　师：这里我们主要复习的是特殊角的三角函数值。要熟练掌握三个特殊角的三角函数值，关键是熟悉这一对直角三角形。由于这一对直角三角形的边除了符合勾股定理以外，还有特殊的数量关系，所以我们可以求得它们锐角的三角函数的精确值。让我们复习一下。我们可求得sin 30度等于1/2，cos 30度等于二分之根号三，tan 30度等于三分之根号三；sin 45度和cos 45度都等于二分之根号二，tan 45度等于1；sin 60度等于cos 30度等于二分之根号三，cos 60度等于sin 30度等于1/2，tan 60度等于根号3。

　　师：最后我们核对一下这两题的计算结果，第一题答案为0，第二题结果是根号3。下面请看问题二。在三角形ABC中，角C等于90度，a等于根号2，b等于根号6，解这个直角三角形。在这一题当中，我们首先要弄清楚什么是解直角三角形呢？规定由直角三角形边角中的已知元素求出所有边角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形。那么直角三角形中都有哪些元素？各元素之间又有哪些关系呢？除直角外，还有两个锐角，两条直角边和一条斜边。从边上看有a2 + b2 = c2；从角上看有角A + 角B = 90度；从边角关系上看，则有sin A等于c分之a，cos A等于c分之b，tan A等于b分之a，当然还有角B的三角函数。

　　师：回顾完这些知识点，我们再来看这道题。现在已知两直角边，我们可以先根据勾股定理求出斜边的长。接下来如何求角度，可以利用三角函数，因为三边都已经知道了，所以三个三角函数是可以任意选择的。这里我选择使用角A的正切计算，tan A等于三分之根号3，所以可以求得角A等于30度，角B等于60度。解完这道题就要请同学们思考了，你能根据不同的已知条件归纳出相应的解直角三角形的方法吗？