师：同学们，我们一起来学习1.3节探索三角形全等的条件。上节课学完全等三角形后，课代表在黑板上留了个作业：课后每人用硬纸板做一个与右图全等的三角形。这引起了同学们的讨论。

　　生甲：那就需要我们量出三条边和三个角分别是多少喽？

　　生乙：那是不是太麻烦了？我觉得肯定有更简单的方法。

　　师：这节课我们就帮他解决一下这个问题。也就是当两个三角形具备多少对边或角分别相等的条件时，这两个三角形就全等呢？这个问题听起来有点复杂，我们该如何思考呢？大家可能会想从6个条件逐步减少边或角相等来进行探索，也可能想从一组边或角相等开始逐步增加条件来进行探索。一个条件行不行？两个条件可不可以？下面我们就选择从一组边或角相等开始，逐步增加条件来进行探索。

　　先来考虑最简单的情况，如果我们只选取一个元素相等，这样的两个三角形可以全等吗？这一个元素可能是一对边相等，也有可能是一对角相等，下面我们来分别思考一下。大家发现了吗？以一条线段为一边，可以画出无数个三角形。所以一对边相等无法确定三角形。那一对角相等可以吗？同样的道理，以一个角为公共角，也可以画出无数个三角形。就像我们见过很多直角三角形，它们形状各不相同，但都有一个相等的角，就是直角。所以一对角相等也无法确定三角形。

　　既然一个元素相等无法确定三角形，那我们就来增加条件，两个元素分别相等可以确定三角形吗？为了使探究过程有条不紊，同学们想想两个元素可以有几种不同的选法呢？

　　生：可能是两对边分别相等，可能是两对角分别相等，也可能是一对边和一对角分别相等。

　　师：非常好。我们先来试一试两对边分别相等。同学们，请想一想，画一画。老师是这样想的，以点B为圆心，分别做一个大圆、一个小圆，点A为大圆上的任意一点，点C为小圆上的任意一点。这样无论怎么改变点A和点C的位置，都能使得BA和BC的长度不发生改变。在老师拖动的过程中，大家看三角形ABC的形状在不断发生变化。三角形ABC可能是这样，也可能是这样。我们观察这两个三角形，发现它们有两对边分别相等，但是明显不全等。同学们平时用的圆规也可以模拟这样一个实验，圆规两只脚的长度是确定的，但是当它两角之间的夹角大小发生改变时，这个三角形就会发生变化。所以两对边分别相等，无法确定三角形。那两对角分别相等可以吗？

　　生：两对角分别相等，根据三角形内角和其实就意味着三对角都分别相等。老师用的三角板和我们自己的三角板，像30度的三角板和45度的三角板都满足三角分别相等，但明显不全等。

　　师：所以两对角分别相等也无法确定一个三角形。再来看看第三种情况，如果一对边和一对角分别相等，情况会怎么样呢？还是拿刚才的直角三角形来说，让它的一对边和一个角分别相等，会发现另外一条直角边的长度并不能确定。所以一对边和一对角分别相等仍然无法确定一个三角形。也就是说选取两个元素分别相等，无法说明这两个三角形全等。

　　那我们就继续增加条件，选取三个元素分别相等有哪些不同的选法呢？

　　生：共分为四种情况，分别是两对边和一对角分别相等，两对角和一对边分别相等，三对边分别相等以及三对角分别相等。

　　师：没错。我们先来研究第一种情况，两对边和一对角分别相等。请同学们在草稿纸上画一画。在画图过程中，大家有没有意识到这一角有可能是这两边的夹角，也有可能是这两边其中一边的对角。我们将两边一角分别相等，进一步细化，分为两边和夹角，以及两边和其中一边的对角。同样的道理，两对角和一对边分别相等，这一边有可能是这两角的夹边，也有可能是其中一角的对边。先来看看两边及其夹角分别相等的两个三角形是否全等呢？在之前的圆规实验中，我们认识到如果两条边确定但夹角不确定，三角形就无法确定。那么如果我们固定它们的夹角，这个三角形看起来似乎是可以确定的。再来看看那几个满足一边一角相等的直角三角形，如果将另外一条直角边也变成相等的，像这样，那么这些直角三角形就满足两边及其夹角分别相等，这些三角形看起来也是全等的。再来看更一般的情况。我们做一个三角形，使得它和三角形ABC满足两边及其夹角分别相等，看看做出的三角形与原三角形ABC是否全等。第一步，在小圆上取一个点D连接BD，使得BD等于BC；第二步，作角∠DBE等于∠CBA与大圆交于点E，可得BE等于BA；第三步，连接DE，此时得到三角形EBD，它和三角形ABC全等吗？我们将三角形EBD绕着点B旋转，发现它可以与三角形ABC重合。也就是说，在此问题中，按照两边及其夹角分别相等做出来的两个三角形是全等的。回到本节课开头的问题，我们用尺规来做一个三角形A'B'C'，使得∠B等于∠B'，A'B'等于AB，B'C'等于BC，看看做出的三角形A'B'C'能否和黑板上的三角形ABC全等呢？首先做一个角∠B'等于∠B，在角∠B'的两边上分别截取B'C'等于BC、B'A'等于BA，连接A'C'。在作图过程中，我们发现A'和C'是存在并且唯一的，也就是说三角形A'B'C'也是存在并且唯一的。将三角形A'B'C'剪下，发现它可以与黑板上的三角形ABC重合。也就是说三角形A'B'C'和三角形ABC全等。