师：同学们，大家好。纷繁源于简单，复杂图形都是由基本图形构成的。为了更好地研究轴对称图形，今天我们从最基本的图形——线段开始研究。请同学们在透明纸上画一条线段AB，并思考问题：线段是轴对称图形吗？

　　生：通过观察，我们发现线段沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以线段是轴对称图形。

　　师：那你能做出线段的对称轴吗？

　　生：能，线段的对称轴就是线段AB的垂直平分线。

　　师：请同学们动手折叠验证，并尝试说明把OA沿直线l翻折。

　　生：因为∠1 = ∠2 = 90°，OA = OB，所以OA与OB重合。这样就证明了线段的垂直平分线是它的对称轴。

　　师：通过刚才的观察、猜测、动手验证及证明，我们得到结论：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。如果我们在线段AB的垂直平分线l上任找一点P，连结PA，PB，PA与PB相等吗？请在刚才所做线段AB的垂直平分线上，任意选取点P、Q、M，通过度量PA与PB的长度、QA与QB的长度、MA与MB的长度，看看有什么发现。

　　生：通过度量可得PA = PB，QA = QB，MA = MB。借助几何画板，移动点P的位置，发现当点P在线段垂直平分线上时，它到点A的距离与到点B的距离相等。

　　师：你有什么猜想呢？

　　生：猜想PA = PB。

　　师：那如何证明呢？可以仿照刚才图形运动的方法，把△PAO沿直线l翻折，点P与点P重合。如果能说明点A与点B重合，线段PA与PB重合，所以PA = PB。按照这个思路，大家试一下。

　　生：因为∠POA = ∠POB，所以OA落在射线OB上。因为OA = OB，所以点A与点B重合。依据基本事实“两点确定一条直线”，可知PA与PB重合，所以PA = PB。

　　师：当然，有些同学也可以利用我们熟悉的三角形全等来进行证明。由l是AB的垂直平分线，我们可以得到l⊥AB，OA = OB。对于l⊥AB并不是我们三角形全等所需要的直接条件。因此我们由l⊥AB得到∠POA = ∠POB = 90°，再加上PO这组公共边，就可以得到△POA≌△POB，从而得到PA = PB。这样的证明完整吗？当点P与点O重合时，还能利用三角形全等证明吗？

　　生：在这种情况下，O为AB的中点，所以PA = PB。因此对于这种方法，我们应该进行分类讨论。

　　师：对，当点P与点O不重合时，以及当点P与点O重合时，我们可以用文字语言来叙述刚才的结论。

　　生：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

　　师：用符号语言可以表示为，因为l⊥AB于点O，AO = BO，也可以叙述为l垂直平分AB，所以PA = PB。

　　师：有可能有些同学会提出这样的疑问，线段垂直平分线外有没有点到这条线段两端的距离相等呢？首先我们理清这个问题的条件和结论，它的条件是线段垂直平分线外的点，结论是这个点到这条线段两端的距离相等。请同学们按下暂停键，试着画出图形，说说你的证明思路。

　　生：如图，在线段AB的垂直平分线外任取一点P，连结PA、PB。首先通过观察度量发现它们并不相等。下面我们可以设PA交l于点Q，连结QB。根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因为点Q在AB的垂直平分线上，所以QA = QB，于是PA = PQ + QA = PQ + QB。因为三角形两边之和大于第三边，所以PQ + QB ＞ PB，即PA ＞ PB。因此平面内只有线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

　　师：下面让我们一起试着用刚才的定理来解决问题。已知如图，AB = AC = 5，BC = 4，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E。求△DBC的周长，大家想一想该如何解决呢？

　　生：根据已知条件，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，我们可以得到EA = EB，DA = DB。结合题目的结论是要求△DBC的周长，因此应作辅助线连结DB。因为DE是AB的垂直平分线，所以DB = DA，所以DB + DC = DA + DC = AC。因此△DBC的周长就等于DB + DC + BC。根据等量代换，DB + DC = AC，所以三角形的周长就等于AC + BC = 9。