师：同学们，大家好。前面两节课我们研究了线段的轴对称性，今天我们一起来研究第二个基本图形——角的轴对称性。请同学们在一张透明纸上画角AOB，大家思考一下，它是轴对称图形吗？

　　生：通过思考，发现角AOB沿着某一条直线折叠，角两旁的部分能够互相重合，所以角AOB是轴对称图形。

　　师：非常好。那大家能做出角AOB的对称轴吗？有些同学做出了角AOB的平分线，对称轴是这条射线吗？

　　生：不是，对称轴应该是角平分线所在的直线。

　　师：很棒。那我们该如何证明呢？请仿照研究线段的方法进行思考。

　　生：如果把角1沿OC翻折，因为角1等于角2，所以射线OA与射线OB重合。

　　师：没错。通过刚才的观察、猜想和动手验证，我们得到角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是它的对称轴。我们知道，根据线段的轴对称性，线段的垂直平分线有特殊性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。那咱们大胆猜测下，根据角的轴对称性，角平分线有没有类似的特殊性质呢，如果有，应该是什么？

　　生：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，那么角平分线上的点可能到角两边距离相等。

　　师：很好。在角平分线上任取一点P，通过动手翻折角AOB，我们发现角平分线上的点P到角两边上的点距离有很多种情况。哪种情况是我们该着重研究的呢？

　　生：这条垂线段比较特殊，具有唯一性，而且是点P到边的距离。

　　师：对。所以我们发现角平分线上的点可能具有到角两边距离相等这个性质。在角AOB的平分线上，任取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD。PC与PD相等吗？请证明你的结论。我们可以与线段垂直平分线性质定理的证明一样，运用图形的运动来进行证明吗？请大家先独立思考，然后我们一起来尝试。把三角形POC沿直线OP翻折。想要证明PC等于PD，就要说明点C与点D重合。现在并没有相等的线段，但我们知道PC垂直于OA，PD垂直于OB。弯折之后可以根据基本事实“过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直”得到C、D两点重合。大家试着叙述一下证明过程。

　　生：因为角AOP等于角BOP，所以OA与OB重合。因为PC垂直OA，PD垂直OB，依据基本事实“过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直”，可知PC与PD重合，所以PC等于PD。

　　师：非常好。由此我们得到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。用符号语言可以表达为：因为OP平分角AOB，PC垂直OA，PD垂直OB，所以PC等于PD。在线段的轴对称性中，我们还研究了它的垂直平分线的性质定理的逆定理。那么角平分线与线段垂直平分线的性质定理有类似的特征吗？大家有什么猜想？

　　生：如果一个点到角的两边距离相等，那么这个点在角平分线上。

　　师：很棒。那大家能证明这个猜想吗？首先我们画出图形，写出已知、求证。已知点Q在角内部，QC垂直OA，QD垂直OB，QC等于QD。在已知当中，因为是到角两边距离相等，因此不光应有线段相等，还应包含垂直。求证点Q在角AOB的平分线上。做射线OQ。我们想要证明OQ平分角AOB，也就是要证角DOQ等于角COQ，可以利用三角形全等证明这组对应角相等。由条件QC垂直OA，QD垂直OB可得角QCO等于角QDO等于90度。有了这个前提条件，大家找找全等所需要的条件。

　　生：QC等于QD是已知，OQ等于OQ是公共边，所以三角形QCO全等于三角形QDO。于是角AOQ等于角BOQ，即点Q在角AOB的平分线上。

　　师：非常好。我们来看一下新的定理该如何描述：角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上。在刚才的已知条件中，很多同学已经注意到了，我们为什么要添加“角的内部”这一个条件？给大家提出一个课后思考的问题，去掉这个前提可以吗？这个定理可以用符号语言表示为：因为QC垂直OA，QD垂直OB，QC等于QD，所以点Q在角AOB的平分线上。让我们通过一个例题来看看今天探究的这两个定理该如何运用。